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In dem anderen Falle, nach , hängt der Wert des fraglichen Symbols von der Lösbarkeit der Kongruenz nach beliebig hohen Potenzen ab, und jede solche Kongruenz ist, wie man leicht sieht, dann und nur dann lösbar, wenn die Kongruenz nach der nämlichen Potenz lösbar ist; also findet man hier:

.

Sind endlich die Zahlen und beide durch teilbar, und ist und , so gilt die Formel:

.

Aus den gewonnenen Resultaten folgt unmittelbar die Formel (b″); zugleich erkennen wir, daß die Formeln (c″)‚ (c⁗) auch für gültig sind. Die Formel (c⁗) folgt allgemein durch Verbindung von (c‴) mit (c″). Damit ist der Beweis des Satzes 98 in allen Teilen erbracht.

Aus den Formeln (a′), (a″)‚ (b′), (b″) in Satz 98 läßt sich folgende Tatsache ableiten:

Wenn man ein vollständiges System zu primer und nach inkongruenter Zahlen ins Auge faßt, wo und im Falle sogar sei, so sind entweder alle diese Zahlen Normenreste des quadratischen Körpers nach oder nur die Hälfte, je nachdem zu der Diskriminante von prim ist oder nicht.

§ 65. Das Charakterensystem eines Ideals.

Wir bezeichnen die verschiedenen in der Diskriminante des Körpers aufgehenden rationalen Primzahlen, deren Anzahl sei, mit , …, . Zu einer jeden beliebigen ganzen rationalen Zahl gehören dann ganz bestimmte Werte ( oder ) der einzelnen Symbole

, …, ,

deren Bedeutung aus dem vorigen Paragraphen zu ersehen ist; diese Einheiten sollen das Charakterensystem der Zahl im Körper heißen. Um auch einem jeden Ideal des Körpers in bestimmter Weise ein Charakterensystem zuzuordnen, unterscheiden wir die zwei Fälle, ob ein imaginärer oder ein reeller Körper ist. Im ersteren Falle sind die Normen von Zahlen in stets positiv; wir setzen , und bezeichnen die Einheiten

, …, (24)
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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 166. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/183&oldid=- (Version vom 31.7.2018)