Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/19

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Andrerseits ist, wenn mit bezüglich die absolut größten Werte bezeichnet werden, welche die Funktionen

bezüglich

in dem Intervalle bis annehmen:

und hieraus folgt, wenn zur Abkürzung

gesetzt wird, die Ungleichung

(2)

Nun bestimme man eine ganze positive Zahl , welche erstens durch die ganze Zahl teilbar ist und für welche zweitens wird. Es ist dann infolge der Kongruenz (1) eine nicht durch teilbare und daher notwendig von verschiedene ganze Zahl, und da überdies infolge der Ungleichung (2) absolut genommen kleiner als wird, so ist die Gleichung

unmöglich.

Man nehme an, es sei eine algebraische Zahl und es genüge die Zahl einer Gleichung -ten Grades mit ganzzahligen Koefiizienten. Bezeichnen wir dann mit die übrigen Wurzeln dieser Gleichung, so muß, da den Wert hat, auch der Ausdruck

den Wert haben und hierin sind, wie man leicht sieht, die Exponenten die Wurzeln einer Gleichung -ten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten. Sind überdies etwa die Exponenten von verschieden, während die übrigen verschwinden, so sind diese Exponenten die Wurzeln einer Gleichung -ten Grades von der Gestalt

deren Koeffizienten ebenfalls ganze rationale Zahlen sind und in welcher insbesondere der letzte Koeffizient von verschieden ist. Der obige Ausdruck erhält dann die Gestalt

wo eine ganze positive Zahl ist.