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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.18

Beweis. Es sei wieder $t$ die Anzahl der verschiedenen in der Diskriminante $d$ des Körpers $k$ aufgehenden rationalen Primzahlen. Betrachten wir zunächst den Fall, daß $k$ ein imaginärer Körper ist, so folgt aus den Sätzen 106 und 107 das Vorhandensein von genau $2^{t-1}$ ambigen Klassen in $k$; diese entspringen sämtlich aus ambigen Idealen. Jetzt sei der Körper $k$ reell; besteht das Charakterensystem der Zahl $-1$ in $k$ aus lauter positiven Einheiten, so folgt desgleichen aus den Sätzen 106 und 107 das Vorhandensein von genau $2^{t-1}$ ambigen Klassen in $k$; von diesen $2^{t-1}$ ambigen Klassen entspringen hier entweder sämtliche oder nur die Hälfte aus ambigen Idealen, je nachdem $n(\varepsilon )=-1$ oder $=+1$ ausfällt. Besitzt jedoch die Zahl $-1$ für $k$ wenigstens einen negativen Charakter, so ist stets $n(\varepsilon )=+1$; nach den Sätzen 106 und 107 gibt es nur $2^{t-2}$ ambige Klassen in $k$, und diese entspringen sämtlich aus ambigen Idealen. Nun ist die Anzahl $r$ der Einzelcharaktere $=t-1$, wenn der Körper $k$ reell ist und überdies die Zahl $-1$ für $k$ wenigstens einen negativen Charakter besitzt; es ist $r=t$ in jedem anderen Falle; damit ist unser Satz 108 bewiesen.

§ 78. Der arithmetische Beweis für die Existenz der Geschlechter.

Die gewonnenen Resultate setzen uns in den Stand, auf die Frage nach der Anzahl der Geschlechter die Antwort zu finden, die im Fundamentalsatze 100 ausgesprochen ist; wir können nämlich beweisen, daß diese Anzahl stets gleich $2^{r-1}$ ist, und daß mithin alle diejenigen Charakterensysteme, die der Bedingung des Satzes 100 Genüge leisten, wirklich unter den Geschlechtern vertreten sind. Wir bezeichnen die Anzahl der voneinander verschiedenen existierenden Geschlechter mit $g$ und die Anzahl der Klassen des Hauptgeschlechtes mit $f$. Da nach § 66 alle Geschlechter die gleiche Anzahl von Klassen enthalten, so ist die Anzahl $h$ sämtlicher Klassen des Körpers $h=gf$. Bezeichnen wir ferner die $f$ Klassen des Hauptgeschlechtes mit $H_{1}$, …‚ $H_{f}$ so können wir nach dem Satze 103 $H_{1}=K_{1}^{2}$, …, $H_{f}=K_{f}^{2}$ setzen, wo $K_{1}$, …‚ $K_{f}$ gewisse $f$ Klassen des Körpers bedeuten.

Es sei jetzt $C$ eine beliebige Klasse des Körpers; da $C^{2}$ offenbar zum Hauptgeschlecht gehört, so ist $C^{2}=K_{a}^{2}$, wo $K_{a}$ eine ganz bestimmte der eben eingeführten Klassen $K_{1}$‚ …, $K_{f}$ bedeutet. Es ist dann $\textstyle {\frac {C}{K_{a}}}$, d. h. diejenige wieder ganz bestimmte Klasse $A$, für welche $C=AK_{a}$ wird, eine ambige Klasse, und es stellt also der Ausdruck $AK$, wenn $A$ alle ambigen Klassen und $K$ die Klassen $K_{1}$, …‚ $K_{f}$ durchläuft, eine jede überhaupt vorhandene Idealklasse des Körpers dar, und auch jede nur auf eine Weise. Da nach Satz 108 die Anzahl der ambigen Klassen $2^{r-1}$ beträgt, so ergibt sich $h=2^{r-1}f$, und es führt die Zusammenstellung dieser Gleichung mit der oben gefundenen $h=gf$ zu der Beziehung $g=2^{r-1}$. Damit ist der Fundamentalsatz 100 vollständig bewiesen [Gauss (1^[1])].

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1. Disquisitiones arithmeticae. Werke 1 (1801).

Anmerkungen (Wikisource)

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 180. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/197&oldid=- (Version vom 31.7.2018)