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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.18

§ 79. Die transzendente Darstellung der Klassenanzahl und eine Anwendung darauf, daß der Grenzwert eines gewissen unendlichen Produktes positiv ist.

Der zweite Beweis für die Existenz der $2^{r-1}$ Geschlechter beruht auf transzendenter Grundlage; wir entwickeln der Reihe nach die folgenden Sätze:

Satz 109. Die Anzahl $h$ der Idealklassen des quadratischen Körpers $k$ mit der Diskriminante $d$ bestimmt sich durch folgende Formel:

$\varkappa h={\underset {s=1}{L}}\prod \limits _{(p)}{\frac {1}{1-\left({\frac {d}{p}}\right)p^{-s}}}$.

Hierin ist das Produkt rechter Hand über alle rationalen Primzahlen $p$ zu erstrecken, und das Symbol $\textstyle \left({\frac {d}{p}}\right)$ hat die in § 61 festgesetzte Bedeutung. Für den Faktor $\varkappa$ gilt, je nachdem der Körper $k$ imaginär oder reell, also $d$ negativ oder positiv ist:

$\varkappa ={\frac {2\pi }{w\left|{\sqrt {d}}\right|}}$ bez. $\varkappa ={\frac {2\log \varepsilon }{\left|{\sqrt {d}}\right|}}$.

Dabei bedeutet $w$ für $d=-3$ die Zahl $6$, für $d=-4$ die Zahl $4$, für jedes andere negative $d$ die Zahl $2$; andererseits verstehe man für einen reellen Körper $k$ unter $\varepsilon$ jetzt speziell diejenige seiner vier Grundeinheiten, welche $>1$ ist, und unter log $\varepsilon$ den reellen Wert des Logarithmus dieser Grundeinheit $\varepsilon$ [Dirichlet (8^[1], 9^[2])].

Beweis. Nach § 27 gilt, so lange $s$ reell und $>1$ ist:

$\zeta (s)=\sum \limits _{({\mathfrak {j}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {j}})^{s}}}=\prod \limits _{({\mathfrak {p}})}{\frac {1}{1-n({\mathfrak {p}})^{-s}}}$,

wo das Produkt über alle Primideale ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$ zu erstrecken ist. Ordnen wir dieses Produkt nach den rationalen Primzahlen $p$, aus welchen die Primideale ${\mathfrak {p}}$ herstammen, so gehört, wie aus Satz 97 folgt, zu einer beliebigen rationalen Primzahl $p$ in dem Produkte das Glied:

${\frac {1}{(1-p^{-s})^{2}}}$ oder ${\frac {1}{1-p^{-2s}}}$ oder ${\frac {1}{1-p^{-s}}}$,

je nachdem $\left(\textstyle {\frac {d}{p}}\right)=+1$, $=-1$, $=0$ ist. Wir schreiben diese drei Ausdrücke in der ihnen gemeinschaftlichen Form:

${\frac {1}{1-p^{-s}}}{\frac {1}{1-\left({\frac {d}{p}}\right)p^{-s}}}$

und erhalten so:

$\zeta (s)=\prod \limits _{(p)}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\prod \limits _{(p)}{\frac {1}{1-\left({\frac {d}{p}}\right)p^{-s}}}$,

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1. Sur l’usage des séries infinies dans la théorie des nombres. Werke 1, 357 (1838).
2. Recherches sur diverses applications de l’analyse infinitésimale à la théorie des nombres. Werke 1, 411 (1839)‚ (1840).

Anmerkungen (Wikisource)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 181. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/198&oldid=- (Version vom 31.7.2018)