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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.22

Setzt man, falls $m$ durch mehr als eine Primzahl teilbar ist:

$m=l_{1}^{h_{1}}l_{2}^{h_{2}}\ldots$,

wo $l_{1}$, $l_{2}$, … verschiedene rationale Primzahlen seien, so kann man eine Partialbruchzerlegung vornehmen

${\frac {1}{m}}={\frac {a_{1}}{l_{1}^{h_{1}}}}+{\frac {a_{2}}{l_{2}^{h_{2}}}}+\dots$,

wo $a_{1}$, $a_{2}$, … ganze rationale positive oder negative Zahlen bedeuten, und dann $a_{1}$, zu $l_{1}$, $a_{2}$ zu $l_{2}$, … prim ist. Die Benutzung dieser Zerlegung liefert

${\mathsf {Z}}={\mathsf {Z}}_{1}^{a_{1}}{\mathsf {Z}}_{2}^{a_{2}}\ldots$,

wenn ${\mathsf {Z}}_{1}=\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l_{1}^{h_{1}}}},{\mathsf {Z}}_{2}=\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l_{2}^{h_{2}}}}$, … gesetzt wird; es entsteht also durch Zusammensetzung der Körper $k({\mathsf {Z}}_{1})$ der $l_{1}^{h_{1}}$-ten Einheitswurzeln, $k({\mathsf {Z}}_{2})$ der $l_{2}^{h_{2}}$-ten Einheitswurzeln‚ … genau der Rationalitätsbereich$k({\mathsf {Z}})$. Wir behandeln dementsprechend zunächst den einfacheren Fall $m=l^{h}$, wo in $m$ nur eine Primzahl $l$ aufgeht.

§ 95. Der Grad des Kreiskörpers der $l_{h}$-ten Einheitswurzeln und die Zerlegung der Primzahl $l$ in diesem Körper.

Für den Kreiskörper der $l^{h}$-ten Einheitswurzeln gelten folgende Tatsachen:

Satz 120. Bedeutet $l$ die Primzahl $2$ oder eine ungerade Primzahl, so besitzt der durch ${\mathsf {Z}}=\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l^{h}}}$ bestimmte Kreiskörper $k({\mathsf {Z}})$ der $l_{h}$-ten Einheitswurzeln den Grad $l^{h-1}(l-1)$. Die Primzahl $l$ gestattet in $k({\mathsf {Z}})$ die Zerlegung $l={\mathfrak {L}}^{l^{h-1}(l-1)}$, wo ${\mathfrak {L}}$ ein Primideal ersten Grades in $k({\mathsf {Z}})$ ist.

Beweis. ${\mathsf {Z}}$ genügt der Gleichung vom $l^{h-1}(l-1)$-ten Grade:

$F(x)={\frac {x^{l^{h}}-1}{x^{l^{h-1}}-1}}=x^{l^{h-1}(l-1)}+x^{l^{h-1}(l-2)}+\dots +1=0$.

Bedeutet $g$ eine nicht durch $l$ teilbare ganze rationale Zahl und dann $g'$ eine ganze rationale Zahl von der Art, daß $gg'\equiv 1$ nach $l_{h}$ ausfällt, so folgt ähnlich wie auf S. 195, daß sowohl

$E_{g}={\frac {1-{\mathsf {Z}}^{g}}{1-{\mathsf {Z}}}}$,

als auch der reziproke Wert davon, nämlich:

${\frac {1-{\mathsf {Z}}}{1-{\mathsf {Z}}^{g}}}={\frac {1-{\mathsf {Z}}^{gg'}}{1-{\mathsf {Z}}^{g}}}$

ganze Zahlen sind; es ist daher ${\mathsf {E}}_{g}$ eine Einheit. Auf Grund dieses Umstandes können in der nämlichen Weise wie in § 91 die Gleichungen:

$F(1)=l=\prod \limits _{(g)}(1-{\mathsf {Z}}^{g})=\Lambda ^{l^{h-1}(l-1)}\prod \limits _{(g)}{\mathsf {E}}_{g}={\mathfrak {L}}^{l^{h-1}(l-1)}$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 199. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/216&oldid=- (Version vom 31.7.2018)