Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/220

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.22

§ 98. Die Einheiten des Kreiskörpers $k\left(\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{m}}\right)$. Die Definition der Kreiseinheiten.

Es gelten folgende Tatsachen:

Satz 126. Wenn $m$ eine Potenz einer Primzahl $l$ ist und $g$ eine nicht durch $l$ teilbare Zahl bedeutet, so stellt in dem durch ${\mathsf {Z}}=\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{m}}$ bestimmten Kreiskörper der Ausdruck

${\frac {1-{\mathsf {Z}}^{g}}{1-{\mathsf {Z}}}}$

stets eine Einheit dar.

Wenn die Zahl $m$ verschiedene Primfaktoren enthält und $g$ eine zu $m$ prime Zahl bedeutet, so stellt in dem durch ${\mathsf {Z}}=\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{m}}$ bestimmten Kreiskörper der Ausdruck

$1-{\mathsf {Z}}^{g}$

stets eine Einheit dar.

Beweis. Der erste Teil dieses Satzes 126 ist bereits in den Beweisen der Sätze 117 und 120 festgestellt worden. Um den zweiten Teil zu beweisen, setzen wir $m=l_{1}^{h_{1}}l_{2}^{h_{2}}l_{3}^{h_{3}}\ldots$ und

${\frac {g}{m}}={\frac {a}{l_{1}^{h_{1}}}}+{\frac {b}{l_{2}^{h_{2}}l_{3}^{h_{3}}\ldots }}$,

wo $a$ eine zu $l_{1}$ und $b$ eine zu $l_{2}^{h_{2}},\ l_{3}^{h_{3}},\ \ldots$ prime ganze rationale Zahl bezeichnet; dabei wird

$1-{\mathsf {Z}}^{g}=1-\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi g}{m}}=1-\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi a}{l_{1}^{h_{1}}}}\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi b}{l_{2}^{h_{2}}l_{3}^{h_{3}}\ldots }}$.

Nun ist:

$\prod _{(x)}\left(1-\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi x}{l_{1}^{h_{1}}}}\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi b}{l_{2}^{h_{2}}l_{3}^{h_{3}}\ldots }}\right)=1-\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi bl_{1}^{h_{1}}}{l_{2}^{h_{2}}l_{3}^{h_{3}}\ldots }}$,

wo das Produkt über $x=0,\ 1,\ 2,\ \ldots ,\ l_{1}^{h_{1}}-1$ zu erstrecken ist, oder:

$\prod _{(x')}\left(1-\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi x'}{l_{1}^{h_{1}}}}\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi b}{l_{2}^{h_{2}}l_{3}^{h_{3}}\ldots }}\right)={\dfrac {1-\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi bl_{1}^{h_{1}}}{l_{2}^{h_{2}}l_{3}^{h_{3}}\ldots }}}{1-\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi b}{l_{2}^{h_{2}}l_{3}^{h_{3}}\ldots }}}}$,

wo das Produkt über $x'=1,\ 2,\ \ldots ,\ l_{1}^{h_{1}}-1$ zu erstrecken ist.

Wir unterscheiden jetzt zwei Fälle, je nachdem die Anzahl der Primzahlen $l_{1},\ l_{2},\ \ldots$‚ die in $m$ enthalten sind, zwei oder mehr als zwei beträgt. Im ersteren Falle ist die rechte Seite der Formel (37) nach dem bereits feststehenden ersten Teile des Satzes 126 eine Einheit. Im zweiten Falle können wir annehmen, der zu beweisende Satz 126 sei bereits für diejenigen Kreiskörper $k\left(\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{m^{\ast }}}\right)$ als richtig erkannt, bei welchen die Zahl $m^{\ast }$ durch weniger

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 203. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/220&oldid=- (Version vom 31.7.2018)