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wobei der Exponent ausfällt und eine nicht durch teilbare ganze rationale Zahl bedeutet.

Wir berücksichtigen, daß nach dem Hilfssatze 15 und folglich auch die -te Potenz einer Zahl in ist; wir setzen , wo eine Zahl des Körpers sei. Diese Gleichung liefert die Kongruenz nach . Aus dieser folgt zunächst nach , und dies liefert nach . Hieraus würde endlich nach folgen, was unmöglich ist, da Primitivzahl nach sein soll und ist. Diese Betrachtung lehrt die Richtigkeit der Kongruenz nach .

Wir setzen nun in solcher Weise, daß eine ganze Zahl in und eine ganze rationale Zahl bedeutet; es ist dann nach . Nehmen wir nun an, der Körper sei von dem Körper verschieden, so entsteht durch Zusammensetzung aus und der durch und bestimmte Körper vom Grade . Es ist andererseits , wie die Gleichung zeigt, eine ganze Zahl des Körpers , und die Relativdiskriminante dieser Zahl in bezug auf ist gleich , wo eine Einheit ist. Da zu prim ist, so ist mithin die Relativdiskriminante des Körpers in bezug auf den Körper ebenfalls prim zu . Bezeichnen wir daher mit einen idealen Primfaktor von im Körper , so besitzt mit Rücksicht auf Satz 93 in diesem Körper einen Trägheitskörper , welcher den Grad hat. Die Diskriminante dieses Trägheitskörpers ist prim zu , und wegen Satz 85 müßte sie daher den Wert oder besitzen. Daß es aber einen zyklischen Körper vom Primzahlgrade mit der Diskriminante nicht gibt, folgt entweder direkt aus Satz 44 oder mittels Satz 94, wenn wir den in diesem Satze 94 mit bezeichneten Körper gleich dem Körper der rationalen Zahlen nehmen und die Tatsache berücksichtigen, daß im Körper der rationalen Zahlen alle Ideale Hauptideale sind. Damit ist der Beweis für den Hilfssatz 18 erbracht.

Hilfssatz 19. Wenn ein zyklischer Körper vom Grade , wo gleich einer ungeraden Primzahl oder gleich ist, den Körper bzw. als Unterkörper enthält, so ist Unterkörper eines solchen Körpers, welcher aus bez. und aus einem gewissen zyklischen Körper von einem Grade durch Zusammensetzung entsteht.

Beweis. Es sei bez. . Der größte sowohl in als in bez. enthaltene Unterkörper werde mit bezeichnet; habe den Grad , wo eine positive ganze rationale Zahl bedeutet. Es sei eine solche Substitution aus der Gruppe des Körpers , welche mit ihren Potenzen

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 213. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/230&oldid=- (Version vom 31.7.2018)