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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.24

Zweitens. Es gelten die sich gegenseitig bedingenden Kongruenzen

$\Omega \equiv \pm 1,\qquad ({\mathfrak {l}}),\qquad \omega \equiv \pm 1,\qquad ({\mathfrak {l}}^{l}).$

Drittens. $n(\omega )$, die Norm der Zahl $\omega$ in $k(\zeta )$, ist $=p^{\frac {l(l-1)}{2}}$.

Beweis. Die Zahlen $\Omega ^{l}$ und $\Omega ^{s-r}$ sind solche Zahlen in $k(\zeta ,\,v)$, welche beim Übergang von $v$ in $tv$ ungeändert bleiben. Sie sind deshalb Zahlen in $k(\zeta )$. Hieraus folgt die erste in Satz 133 angegebene Eigenschaft.

Da $v$, $tv$, …, $t^{l-1}v$ Basiszahlen des Körpers $k(v)$ sind, so gilt insbesondere

$1=a_{0}v+a_{1}tv+\cdots a_{l-1}t^{l-1}v$

für bestimmte ganze rationale Zahlen $a_{0}$, $a_{1}$ …,$a_{l-1}$. Die Anwendung der Substitution $t$ auf diese Formel lehrt, daß $a_{0}=a_{1}=\cdots =a_{l-1}$ ist, und da die Koeffizienten $a_{0}$, $a_{1}$, …, $a_{l-1}$ keinen gemeinsamen Teiler $\neq \pm 1$ haben können, so haben sie sämtlich den gleichen Wert $\pm 1$, d. h. es ist $v+tv+\cdots +t^{l-1}v=\pm 1$. Aus dieser Formel folgt:

${\begin{aligned}\Omega &=v+\zeta \cdot tv+\zeta ^{2}\cdot t^{2}v+\cdots +\zeta ^{l-1}\cdot t^{l-1}v\\&\equiv v+tv+\cdots +t^{l-1}v\equiv \pm 1,\qquad ({\mathfrak {l}}).\end{aligned}}$

Mit Hilfe von $\omega \mp 1=(\Omega \mp 1)(\zeta \Omega \mp 1)\ldots (\zeta ^{l-1}\Omega \mp 1)$ erkennen wir die zweite Eigenschaft der Zahl $\omega$.

Endlich folgt durch eine geeignete Anwendung des Multiplikationssatzes der Determinanten

${\begin{vmatrix}v,&tv,&\ldots ,&t^{l-1}v\\t^{l-1}v,&v,&\ldots ,&t^{l-2}v\\\vdots &&\ddots ,&\vdots \\tv&t^{2}v,&\ldots ,&v\end{vmatrix}}=(v+tv+\cdots +t^{l-1}v)n(\Omega )=\pm n(\Omega ),$

wo

$n(\Omega )=(v+\zeta tv+\cdots +\zeta ^{l-1}t^{l-1}v)\ldots (v+\zeta ^{l-1}tv+\cdots +\zeta ^{(l-1)^{2}}t^{l-1}v)$

die Relativnorm von $\Omega$ in bezug auf den Körper $k(v)$ ist. Das Quadrat der Determinante linker Hand ist gleich der Diskriminante des Körpers $k(v)$, d. h. $=p^{l-1}$, und folglich ergibt sich

$n(\omega )=(n(\Omega ))^{l}=p^{l\left({\frac {l-1}{2}}\right)}.$

Damit ist der Satz 133 vollständig bewiesen.

Die drei in Satz 133 bewiesenen Eigenschaften einer Wurzelzahl $\Omega$ des Körpers $k(v)$ reichen umgekehrt völlig zur Charakterisierung einer solchen Zahl hin. Es gilt nämlich folgende Tatsache:

Satz 134. Es sei $l$ eine ungerade Primzahl und $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$, ferner $p$ eine Primzahl $\equiv 1$ nach $l$; wenn dann $\omega$ eine solche Zahl des Kreiskörpers $k(\zeta )$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 219. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/236&oldid=- (Version vom 18.8.2016)