Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/238

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.24

wo das Vorzeichen das nämliche wie in den Kongruenzen $\Omega \equiv \pm 1$, $s\Omega \equiv \pm 1$, … nach ${\mathfrak {l}}$ ist; dann wird der Zähler dieses in gebrochener Form erscheinenden Ausdrucks (41) kongruent $0$ nach ${\mathfrak {l}}$. Dieser Zähler stellt eine Zahl in $k$ dar. Ist $l$ in $k$ Primideal, so muß daher dieser Zähler auch durch $l$ teilbar sein, und es ist $v$ eine ganze Zahl. Anderenfalls haben wir im Körper $k$, da die Diskriminante von $k$ nicht den Faktor $l$ enthält, eine Zerlegung $l={\mathfrak {l}}_{1}\ldots {\mathfrak {l}}_{l}$, wo ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{l}$ voneinander verschiedene Primideale sind, und im Körper $k(\zeta ,\,\Omega )$ gilt dann, wie man mit Hilfe von Satz 88 erkennt, die Zerlegung

${\mathfrak {l}}=(1-\zeta )=({\mathfrak {l}},{\mathfrak {l}}_{1})({\mathfrak {l}},{\mathfrak {l}}_{2})\ldots ({\mathfrak {l}},{\mathfrak {l}}_{l})$.

Da der Zähler des Ausdrucks rechter Hand in (41) durch das Ideal $({\mathfrak {l}},\,{\mathfrak {l}}_{1})$ teilbar ist, so ist derselbe als eine ganze Zahl in $k$ auch durch ${\mathfrak {l}}_{1}$ teilbar. Entsprechend folgt die Teilbarkeit jenes Zählers durch ${\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{l}$, und es ist derselbe also schließlich auch durch $l$ teilbar, d. h. die durch (41) definierte Zahl $v$ ist auch jetzt eine ganze Zahl.

Durch Benutzung der Gleichung $t\Omega =\zeta ^{-1}\Omega$ ergeben sich aus (41) die beiden Formeln:

${\begin{alignedat}{6}v+&&&tv+&t^{2}v+&\cdots +&t^{l-1}v&=\pm 1,\\v+&\zeta \cdot &&tv+&\zeta ^{2}\cdot t^{2}v+&\cdots +&\zeta ^{l-1}\cdot t^{l-1}v&=\Omega .\end{alignedat}}$

(42)

Eine Anwendung des Multiplikationssatzes der Determinanten, wie sie schon beim Beweise des Satzes 133 vorkam, ergibt dann

${\mathsf {N}}={\begin{vmatrix}v,&tv,&\ldots &t^{l-1}v\\t^{l-1}v,&v,&\ldots &t^{l-2}v\\\vdots &&\ddots &\vdots \\tv,&t^{2}v,&\ldots &v\end{vmatrix}}=\pm \Omega \cdot s\Omega \ldots s^{l-2}\Omega$,

und hieraus folgt vermittelst der dritten in Satz 133 ausgesprochenen Eigenschaft der Zahl $\omega$ die Gleichung

${\mathsf {N}}^{l}=\pm p^{\frac {l(l-1)}{2}}$

und somit

${\begin{vmatrix}v,&tv,&\ldots &t^{l-1}v\\t^{l-1}v,&v,&\ldots &t^{l-2}v\\\vdots &&\ddots &\vdots \\tv,&t^{2}v,&\ldots &v\end{vmatrix}}^{2}=p^{l-1}$.

Wir beweisen nun, daß die Diskriminante des Körpers $k$ notwendig $=p^{l-1}$ sein muß. In der Tat ist dieselbe wegen der letzten Gleichung ein positiver Teiler der Zahl $p^{l-1}$. Da sie nach Satz 44 oder nach Satz 94 nicht gleich $1$ sein kann, so enthält sie die Primzahl $p$, und zwar nach den Bemerkungen zum Satze 79 notwendig in der $(l-1)$-ten Potenz. Aus der soeben bewiesenen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 221. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/238&oldid=- (Version vom 18.8.2016)