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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.24

der Veränderlichen $s$, wenn man nach Ausführung der Multiplikation $s^{l-1}$ durch $1$ ersetzt, lauter durch $l$ teilbare Koeffizienten erhalten muß, d. h. diese Funktion ist $\equiv a_{l-2}(s^{l-1}-1)$ nach $l$. Daraus ist zunächst $a_{l-2}\not \equiv 0$ nach $l$ ersichtlich, und wenn $a_{l-2}\equiv r^{m-l+2}$ nach $l$ gesetzt wird, wo $m$ eine der Zahlen $0$, $1$, …, $l-2$ bedeute, so folgt für jeden Index $i=0,1,\ldots ,l-2$ die Kongruenz

$a_{i}\equiv r^{m-i}$, $(l)$.

Wir setzen allgemein $a_{i}=r_{m-i}+lb_{i}$ so, daß $0<r_{m-i}<l$ und $b_{i}$ eine ganze rationale Zahl ist; dabei wird stets $b_{i}\geqq 0$. Da

$r_{m}+r_{m-1}+\cdots r_{m-l+2}=1+2+\cdots +(l-1)={\frac {l(l-1)}{2}}$

ist, so folgt $b_{0}+b_{1}+\cdots +b_{l-2}=0$, und daraus geht notwendig

$b_{0}=0$, $b_{1}=0$, …, $b_{l-2}=0$

hervor, d. h.

$a_{i}=r_{m-i}$ für $i=0,1,\ldots ,l-2.$

Unter den Zahlen $r_{0}$, $r_{1}$, …, $r_{l-2}$ ist offenbar $r_{0}=1$ die kleinste, und da $a_{0}$ unter den Koeffizienten $a_{0}$, $a_{1}$, …, $a_{l-2}$ möglichst klein sein sollte, so folgt $a_{0}=r_{0}=1$, d. h. $m=0$, und nunmehr allgemein $a_{i}=r_{-i}$, womit der Satz 135 bewiesen ist.

§ 109. Eine Äquivalenz für die Primideale ersten Grades des Körpers der $l$-ten Einheitswurzeln.

Aus den bisherigen Entwicklungen entnehmen wir eine wichtige Eigenschaft der in einer Primzahl $p\equiv 1$ nach $l$ aufgehenden Primideale des Körpers der $l$-ten Einheitswurzeln. Es gilt nämlich die Tatsache:

Satz 136. Es sei $l$ eine ungerade Primzahl und $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$, ferner $r$ eine positive Primitivzahl nach $l$ und $s=(\zeta :\zeta ^{r})$; wenn dann ${\mathfrak {p}}$ ein beliebiges Primideal ersten Grades in dem Kreiskörper $k(\zeta )$ bedeutet, so besteht die Äquivalenz

${\mathfrak {p}}^{q_{0}+q_{-1}s+q_{-2}s^{2}+\cdots +q_{-l+2}s^{l-2}}\sim 1,$

wo die Größen $q_{-i}$ ganze rationale, durch das Gleichungssystem

$q_{-i}={\frac {rr_{i}-r_{-i+1}}{l}}$

$(i=0,1,\ldots ,l-2)$

bestimmte, nicht negative Zahlen sind. Dabei haben $r_{0}$, $r_{-1}$, …, $r_{-l+2}$ dieselbe Bedeutung wie in Satz 135, und es ist außerdem $r_{1}=r_{-l+2}$. [Kummer (6^[1], 11^[2])].

Beweis. Es mögen $p$ und $\omega$ dieselbe Bedeutung wie in Satz 133 haben. Nach Satz 133 ist $\omega ^{s-r}$ die $l$-te Potenz einer Zahl $\alpha$ in $k(\zeta )$. Wenn wir für $\omega$

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1. Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten komplexen Zahlen in ihre Primfaktoren. J. Math. 35 (1847).^{[WS 1]}
2. Mémoire sur la théorie des nombres complexes composés de racines de l’unité et des nombres entiers. J. de Math. 16 (1851).

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 35 (1847), S. 327–367 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 223. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/240&oldid=- (Version vom 31.7.2018)