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die in Satz 135 gegebene Darstellung durch einführen, so folgt

,

und diese Gleichung zeigt, wenn wir daraus die Zerlegung von selbst ermitteln, die Richtigkeit des Satzes 136.

Ist eine beliebige Idealklasse des Kreiskörpers und ein Ideal in , und bezeichnen wir mit , , …, bez. die durch , , …, bestimmten Idealklassen, so folgt mit Hilfe des Satzes 89 aus Satz 136 unmittelbar die Tatsache:

.

§ 110. Die Konstruktion sämtlicher Normalbasen und Wurzelzahlen.

Die Sätze 133, 134 und 135 ermöglichen zunächst die Konstruktion sämtlicher Wurzelzahlen des Abelschen Körpers . Es gilt nämlich die Tatsache:

Satz Satz 137. Bezeichnen und für den Abelschen Körper vom ungeraden Primzahlgrade mit der Diskriminante zwei verschiedene, aber zu derselben erzeugenden Substitution der Gruppe dieses Körpers gehörende Wurzelzahlen, so ist stets , wo eine Einheit des Körpers bedeutet, welche die Kongruenzeigenschaft nach besitzt. Umgekehrt, wenn eine Einheit dieser Art in und für irgendeine Wurzelzahl bezeichnet, so ist stets wiederum eine Wurzelzahl jenes Abelschen Körpers .

Beweis. Unter den Voraussetzungen in der ersten Aussage ist der Quotient eine Zahl des aus und zusammengesetzten Körpers, welche beim Übergang von , zu , ungeändert bleibt und daher im Körper liegt. Für werde der im Satze 135 enthaltene Ausdruck angenommen. Ist dann etwa , wo eine der Zahlen , , , … bedeute, dasjenige unter den konjugierten, in aufgehenden Primidealen des Körpers , welches in nur zur ersten Potenz vorkommt, so hat man nach Satz 135 offenbar

,

und hieraus folgt, daß das Primideal in genau zur -ten Potenz vorkommt. Der Quotient kann daher in die Gestalt eines Bruches gebracht werden, dessen Zähler das Primideal in der -ten Potenz enthält, während der Nenner zu prim ist. Da wegen der Exponent durch teilbar sein muß, so folgt , d. h. . Wegen dieses Umstandes enthaltend und die nämlichen Potenzen von Primidealen, und ist somit eine Einheit.

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 224. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/241&oldid=- (Version vom 31.7.2018)