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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.24

bestimmte Primideal; die Zeichen sind im übrigen wie in Satz 135 zu verstehen. Die Lagrangesche Wurzelzahl $\Lambda$ ist $\equiv -1$ nach ${\mathfrak {l}}$ und hat ferner die Eigenschaft, daß ihr absoluter Betrag $=|{\sqrt {p}}|$ ist.

Umgekehrt, wenn einer Wurzelzahl $\Omega$ die letzteren Eigenschaften zukommen und außerdem $\Omega ^{l}$ gerade das soeben definierte Primideal ${\mathfrak {p}}$ zur ersten Potenz enthält, so ist $\Omega =\zeta ^{*}\Lambda$, wo $\zeta ^{*}$ eine $l$-te Einheitswurzel bedeutet.

Beweis. Wird ${\mathfrak {P}}=(1-{\mathsf {Z}},{\mathfrak {p}})$ gesetzt, so erkennen wir mit Hilfe der Beziehungen $(1-{\mathsf {Z}})^{p-1}=(p)$ und $(p,{\mathfrak {p}}^{p-1})={\mathfrak {p}}$, daß

${\mathfrak {P}}^{p-1}=(p,(1-{\mathsf {Z}})^{p-2}{\mathfrak {p}},\ldots ,{\mathfrak {p}}^{p-1})={\mathfrak {p}}$

wird; hieraus ist ersichtlich, daß ${\mathfrak {P}}$ in dem durch $\zeta$ und ${\mathsf {Z}}$ bestimmten Körper ein Primideal ist, und daß die Zahl $1-{\mathsf {Z}}$ dieses Primideal ${\mathfrak {P}}$ nur zur ersten Potenz enthält. Setzen wir ${\mathsf {Z}}=1-\Pi$ und berücksichtigen die Kongruenz $\zeta \equiv R^{-m}$ nach ${\mathfrak {p}}$ und die Gleichung $(1-\Pi )^{p}=1$, so wird:

${\begin{aligned}\Lambda &\equiv \sum _{(x)}R^{-mx}(1+\Pi )^{R^{x}},\qquad ({\mathfrak {p}})\\&\equiv \sum _{(X)}\left\{X^{-m}\sum _{(Y)}{\binom {X}{Y}}\Pi ^{Y}\right\},\qquad ({\mathfrak {p}}),\end{aligned}}$

wo die bezüglichen Summen über $x=0,1,2,\ldots ,p-2$; $X=1,2,\ldots ,p-1$, $Y=0,1,2,\ldots ,X$ zu erstrecken sind. Aus der letzteren Formel gewinnen wir, wenn wir die Reihenfolge der Summationen umkehren, die Kongruenz:

$\Lambda \equiv -{\frac {\Pi ^{m}}{m!}},\qquad ({\mathfrak {P}}^{m+1})$.

(43)

Die Lagrangesche Wurzelzahl $\Lambda$ enthält also genau die $m$-te Potenz von ${\mathfrak {P}}$ als Faktor, und folglich ist $\Lambda ^{l}$ nur durch die erste Potenz von ${\mathfrak {p}}$ teilbar.

Bezeichnen wir die zu $\Lambda$ konjugiert imaginäre Zahl mit ${\overline {\Lambda }}$, so ist

${\overline {\Lambda }}={\mathsf {Z}}^{-1}+\zeta ^{-1}{\mathsf {Z}}^{-R}+\zeta ^{-2}{\mathsf {Z}}^{-R^{2}}+\cdots +\zeta ^{-p+2}{\mathsf {Z}}^{-R^{p-2}}$;

dann wird, wenn wir im Produkt $\Lambda {\overline {\Lambda }}$ immer die je $p-1$ mit gleicher Potenz von $\zeta$ multiplizierten Glieder zusammennehmen,

${\begin{aligned}&{\begin{alignedat}{4}\Lambda {\overline {\Lambda }}=&&&(1&&+1&&+\cdots +1)\\&+\zeta &&({\mathsf {Z}}^{R-1}&&+{\mathsf {Z}}^{R^{2}-R}&&+\cdots +{\mathsf {Z}}^{R^{p-1}-R^{p-2}})\\&+\zeta ^{2}&&({\mathsf {Z}}^{R^{2}-1}&&+{\mathsf {Z}}^{R^{2}-R}&&+\cdots +{\mathsf {Z}}^{R^{p}-R^{p-2}})\\&\;\,\vdots &&&&\;\,\vdots &&\;\,\vdots \qquad \vdots \\&+\zeta ^{p-2}&&({\mathsf {Z}}^{R^{p-2}-1}&&+{\mathsf {Z}}^{R^{p-1}-R}&&+\cdots +{\mathsf {Z}}^{R^{2p-4}-R^{p-2}})\end{alignedat}}\\&\quad \,\,\,=p-1-(\zeta +\zeta ^{2}+\cdots +\zeta ^{p-2})=p.\end{aligned}}$

Damit ist der erste Teil des Satzes 138 vollständig bewiesen.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 226. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/243&oldid=- (Version vom 31.7.2018)