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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.25

Beweis. Ist $\alpha \equiv \beta ^{l}$ nach ${\mathfrak {p}}$, wo $\beta$ wieder eine Zahl in $k(\zeta )$ bedeutet, so folgt $\alpha ^{\frac {p^{f}-1}{l}}\equiv \beta ^{p^{f-1}}\equiv 1$ nach ${\mathfrak {p}}$, d. h. $\textstyle \left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$. Um die Umkehrung hiervon zu zeigen, bezeichnen wir mit $\varrho$ eine Primitivzahl nach ${\mathfrak {p}}$ und setzen $\alpha \equiv \varrho ^{h}$ nach ${\mathfrak {p}}$. Nehmen wir $\textstyle \alpha ^{\frac {p^{f}-1}{l}}\equiv \varrho ^{\frac {h(p^{f}-1)}{l}}\equiv 1$ an, so folgt $\textstyle {\frac {h(p^{f}-1)}{l}}\equiv 0$ nach $p^{f}-1$, d. h. $h$ ist durch $l$ teilbar, und folglich ist $\alpha$ ein $l$-ter Potenzrest nach ${\mathfrak {p}}$, was zu beweisen war.

Für eine Primitivzahl $\varrho$ nach ${\mathfrak {p}}$ ist der Potenzcharakter $\textstyle \left\{{\frac {\varrho }{\mathfrak {p}}}\right\}$ sicherlich von $1$ verschieden. Denn in der Reihe der Potenzen $\varrho$, $\varrho ^{2}$, … ist $\varrho ^{p^{f-1}}$ die erste, welche $\equiv 1$ nach ${\mathfrak {p}}$ ausfällt, und also ist $\varrho ^{\frac {p^{f-1}}{l}}\not \equiv 1$ nach ${\mathfrak {p}}$.

Es sei $\textstyle \left\{{\frac {\varrho }{\mathfrak {p}}}\right\}=\zeta ^{g}$; man bestimme eine zu $p^{f}-1$ prime ganze rationale Zahl $g^{\ast }$ derart, daß $gg^{\ast }\equiv 1$ nach $l$ wird; dann ist offenbar $\varrho ^{\ast }=\varrho ^{g^{\ast }}$ eine solche Primitivzahl nach ${\mathfrak {p}}$, für welche $\textstyle \left\{{\frac {\varrho ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right\}=\zeta$ ausfällt. Ist nun $\alpha$ eine ganze, nicht durch ${\mathfrak {p}}$ teilbare Zahl in $k(\zeta )$, und hat man $\alpha \equiv \varrho ^{\ast c}$ nach ${\mathfrak {p}}$, so besitzt $\alpha$ den Potenzcharakter $\zeta ^{c}$.

Hieraus ist leicht ersichtlich, daß das vollständige System der $p^{f}-1$ einander nach ${\mathfrak {p}}$ inkongruenten Zahlen $1$, $\varrho ^{*}$, $\varrho ^{*2}$, …, $\varrho ^{*p^{f-2}}$ in $l$ Teilsysteme zerfällt, von denen jedes $\textstyle {\frac {p^{f}-1}{l}}$ Zahlen vom nämlichen Potenzcharakter enthält. Insbesondere gibt es genau $\textstyle {\frac {p^{f}-1}{l}}$ einander inkongruente $l$-te Potenzreste nach ${\mathfrak {p}}$.

Ist ${\mathfrak {b}}$ ein beliebiges zu ${\mathfrak {l}}$ primes Ideal und $\alpha$ eine zu ${\mathfrak {b}}$ prime ganze Zahl in $k(\zeta )$, und wird ${\mathfrak {b=pq\ldots w}}$ gesetzt, wo ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$, … ${\mathfrak {w}}$ Primideale bedeuten, so werde das Symbol $\textstyle \left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {b}}}\right\}$ durch die Gleichung

$\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {b}}}\right\}=\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right\}\left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {q}}}\right\}\cdots \left\{{\frac {\alpha }{\mathfrak {w}}}\right\}$

definiert.

§ 114. Ein Hilfssatz über den Potenzcharakter der $l$-ten Potenz der Lagrangeschen Wurzelzahl.

Es ist Eisenstein gelungen, dasjenige Reziprozitätsgesetz zu entdecken und zu beweisen, welches im Körper $k(\zeta )$ zwischen einer rationalen Zahl und einer beliebigen Zahl dieses Körpers besteht; dabei ist wieder $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}}$ gesetzt, und $l$ bedeutet eine ungerade Primzahl. Dieses Reziprozitätsgesetz ist zugleich ein bisher unentbehrliches Hilfsmittel zum Beweise des allgemeineren Kummerschen Reziprozitätsgesetzes (vgl. Kap. 31). Dem Beweise des Eisensteinschen Reziprozitätsgesetzes ist der folgende Hilfssatz vorauszuschicken:

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 229. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/246&oldid=- (Version vom 31.7.2018)