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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.29

daß identisch in $x$ eine Gleichung

$f(x)f(\zeta x)\cdots f(\zeta ^{l-1}x)=f(x^{l})+lF(x^{l})$

(91)

gilt, wo $F(x^{l})$ eine ganzzahlige Funktion von $x^{l}$ bedeutet. Diese Gleichung liefert für $x=1$ mit Rücksicht auf (89) die Kongruenz

$f(1)\equiv f(1)+lF(l)$, $(l^{2})$, d. h. $F(1)\equiv 0$, $(l)$.

Wenn in der Gleichung (91) $x={\mathsf {M}}$ genommen wird, so ergibt sich

$N_{k}(f({\mathsf {M}}))=f(\mu )+lF(\mu )$

und hieraus, da $F(\mu )\equiv F(1)\equiv 0$ nach ${\mathfrak {l}}$ ausfällt,

$N_{k}(f({\mathsf {M}}))\equiv f(\mu )$, $({\mathfrak {l}}^{l})$,

d. i. wegen (90)

$\nu \equiv f(\mu )$, $({\mathfrak {l}}^{l})$.

Damit und in Anbetracht von (89) ist der Hilfssatz 25 vollständig bewiesen.

Hilfssatz 26. Wenn $\nu$, $\mu$ ganze Zahlen in $k(\zeta )$ mit den Kongruenzeigenschaften $\nu \equiv 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ und $\mu \equiv 1+\lambda$ nach ${\mathfrak {l}}^{2}$ bedeuten, und wenn außerdem $\nu$ Normenrest des durch ${\mathsf {M}}={\sqrt[{l}]{\mu }}$ bestimmten Kummerschen Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}$ ist, so wird stets

$\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {l}}}\right\}=1$.

[Kummer (20^[1])].

Beweis. Aus der bekannten Lagrangeschen Formel für die Umkehrung einer Potenzreihe entnimmt man unmittelbar die folgende Identität:

$\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-1}F(v)}{\mathop {\mathrm {d} } V^{l-1}}}\right]_{V=0}=\left[{\frac {\mathop {\mathrm {d} } \nolimits ^{l-2}{\frac {\mathop {\mathrm {d} } F(v)}{\mathop {\mathrm {d} } v}}(\varphi (v))^{l-1}}{\mathop {\mathrm {d} } v^{l-2}}}\right]_{v=0};$

(92)

dabei stelle man sich unter $F(v)$ eine beliebige Potenzreihe von $v$, ferner unter $\varphi (v)$ eine Potenzreihe vor, deren konstantes Glied von $0$ verschieden ist, und denke sich den Zusammenhang der Variabeln $v$ und $V$ durch die Gleichung $V\varphi (v)-v=0$ vermittelt.

Es seien nun $\nu (x)$ und $\mu (x)$ die zu den Zahlen $\nu$ und $\mu$ gehörenden Funktionen. Da $\nu$ Normenrest des Körpers $k({\mathsf {M}},\zeta )$ nach ${\mathfrak {l}}$ sein soll, so gibt es nach Hilfssatz 25 eine ganzzahlige Funktion $(l-1)$-ten Grades $f(x)$ derart, daß

$n{\big (}f(\zeta ){\big )}\equiv 1$, $(l^{2}),$

(93)

$\nu \equiv f(\mu )$, $(l^{2})$

(94)

und $f(1)>0$ wird.

Wir setzen nun

${\begin{aligned}F(\nu )&=\log f{\big (}\mu (\mathrm {e} ^{v}){\big )},\\V&=\log \mu (\mathrm {e} ^{v}),\\\varphi (v)&={\frac {v}{\log \mu (\mathrm {e} ^{v})}};\end{aligned}}$

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1. Über die allgemeinen Reziprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist. Abh. K. Akad. Wiss. Berlin 1859.^{[WS 1]}

Anmerkungen (Wikisource)

1. Kummer, Ernst Eduard: Über die allgemeinen Reciprozitätsgesetze unter den Resten und Nichtresten der Potenzen, deren Grad eine Primzahl ist, in: Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, Mathematische Abhandlungen, 1859, S. 19–159 Internet Archive; Auszug in: Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1858 S. 158–171 Berlin-Brandenburgische Akademie

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 270. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/287&oldid=- (Version vom 20.2.2017)