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Die Zahl liegt im Körper und im Körper ; beide Zahlen sind nach dem Primideal der Primitivzahl kongruent. Da es folglich im Körper genau nach inkongruente Zahlen gibt, so ist notwendigerweise im Körper unzerlegbar und wird in demselben ein Primideal -ten Grades.

Die aus der eben angestellten Betrachtung folgenden Eigenschaften des Trägheitskörpers sprechen wir wie folgt aus:

Jede Zahl des Körpers ist nach einer Zahl des Trägheitskörpers kongruent. Der Trägheitskörper bewirkt keine Zerlegung des Ideals , sondern nur eine Graderhöhung desselben, insofern beim Übergang vom Körper in den höheren Körper aus einem Primideal ersten Grades sich in ein Primideal -ten Grades gewandelt.

Es sei die beliebige Zahl in der Zahl des Trägheitskörpers nach kongruent und dementsprechend werde nach gesetzt, wo die obige Bedeutung hat und eine geeignete ganze Zahl in ist. Durch die Anwendung einer Substitution des Verzweigungskörpers ergibt sich ‚ d. h. nach und wir erhalten so den Satz:

Die Substitutionen der Verzweigungsgruppe haben die charakteristische Eigenschaft, daß für sämtliche Zahlen des Körpers die Kongruenz

,     

besteht.

Zugleich erkennen wir leicht die folgenden weiteren Sätze über den Verzweigungskörper.

Das Ideal liegt im Verzweigungskörper und ist in demselben ein Primideal -ten Grades: es findet somit im Verzweigungskörper die Spaltung des Ideals in gleiche Primfaktoren statt.

Unsere nächste Aufgabe besteht darin, die Spaltung des Ideals zu verfolgen. Zu dem Zwecke nehmen wir an, es sei der höchste Exponent von der Art, daß für eine jede Substitution der Verzweigungsgruppe die sämtlichen ganzen Zahlen des Körpers der Kongruenz

,     

genügen und bestimmen dann alle diejenigen Substitutionen der Verzweigungsgruppe, für welche

,     

wird; dieselben bilden eine invariante Untergruppe der Verzweigungsgruppe, die wir die einmal überstrichene Verzweigungsgruppe nennen wollen. Der Grad derselben sei . Die Eigenschaften dieser Untergruppe lassen sich wiederum ohne besondere Schwierigkeit feststellen und führen, wenn der Kürze wegen der zu gehörige Körper der einmal überstrichene Verzweigungekörper genannt und gesetzt wird, zu den Sätzen:

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 18. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/35&oldid=- (Version vom 31.7.2018)