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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.35

Einheitswurzeln, deren Produkt gleich $1$ ist, so können wir genau wie beim Beweise des Satzes 164 (S. 329) nachweisen, daß es stets Ideale in $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ gibt, deren Charaktere mit $\gamma _{1}$, …, $\gamma _{r}$ übereinstimmen. Dabei ist nur zu den Bedingungen (155), (156), denen das dort mit ${\mathfrak {p}}$ bezeichnete Primideal genügen soll, noch das Bedingungssystem

$\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {p}}}\right\}=1,$ $\left\{{\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1,\ldots ,\left\{{\frac {\varepsilon _{l^{*}}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1$

hinzuzunehmen, wo $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}$ die in §166 bestimmten und dort mit $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}^{(l^{*}-1)}$ bezeichneten Einheiten sind. Auf diese Weise wird nämlich erreicht, daß ${\mathfrak {p}}$ obenein noch ein Primideal zweiter Art wird, und wegen dieses Umstandes dürfen wir mit Rücksicht auf die Hilfssätze 45 und 47 das Reziprozitätsgesetz in der nämlichen Weise anwenden, wie dies beim Beweise des Satzes 164 geschehen ist. Statt des dort benutzten Satzes 163 ziehen wir hier die Formel (175) heran. Zugleich folgt, daß in $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ wirklich $l^{r-1}$ Geschlechter vorhanden sind, und damit zugleich, daß für jedes derselben das Produkt der $r$ Charaktere stets gleich $1$ sein muß. Diese Tatsache bringen wir nun zur Anwendung, um den Hilfssatz 48 für den Fall zu beweisen, daß $\nu$ eine Einheit ist, und weiter für den Fall, daß $\nu$ eine Primärzahl eines Primideals erster Art ist.

Es seien wiederum $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{l^{*}}$, die soeben erwähnten $l^{*}$ Einheiten; ferner ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{t}$, wie in § 149, die $t$ in der Relativdiskriminante von $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ aufgehenden verschiedenen Primideale, und es mögen darunter ${\mathfrak {l}}_{t}$, ${\mathfrak {l}}_{t-1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{r+1}$ wie in § 149 ausgewählt sein; ferner seien $\lambda _{r+1}$, …, $\lambda _{t}$ Primärzahlen bez. von ${\mathfrak {l}}_{r+1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{t}$; endlich sei $\xi$ eine beliebige Einheit in $k(\zeta )$. Nach Satz 152 (S. 276) gibt es ein Primideal ${\mathfrak {q}}$, für welches bei einem gewissen zu $l$ primen Exponenten $m$

$\left\{{\frac {\zeta }{\mathfrak {q}}}\right\}=1,$ $\left\{{\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1,\ldots ,\left\{{\frac {\varepsilon _{l^{*}}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1$, $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {q}}}\right\}=1,$

(176)

$\left\{{\frac {\lambda _{r+1}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\xi }{{\mathfrak {l}}_{r+1}}}\right\}^{m}$, $\left\{{\frac {\lambda _{r+2}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\xi }{{\mathfrak {l}}_{r+2}}}\right\}^{m},\ldots ,\left\{{\frac {\lambda _{t}}{\mathfrak {q}}}\right\}=\left\{{\frac {\xi }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}^{m}$

(177)

wird. Es sei $\varkappa$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {q}}$. Wegen der Gleichung $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {q}}}\right\}=1$ zerfällt ${\mathfrak {q}}$ im Körper $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$, und wegen der übrigen Gleichungen (176) ist ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal zweiter Art. Die $r$ Charaktere eines Primfaktors von ${\mathfrak {q}}$ haben, da, wie man aus (177) und durch die Hilfssätze 45 und 47 erkennt,

$\left\{{\frac {\xi ^{-m}\varkappa ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{r+1}}}\right\}=1,\ldots ,\left\{{\frac {\xi ^{-m}\varkappa ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{t}}}\right\}=1$

(178)

ist, folgende Werte:

$\left\{{\frac {\xi ^{-m}\varkappa ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right\}$, $\left\{{\frac {\xi ^{-m}\varkappa ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{2}}}\right\},\ldots ,\left\{{\frac {\xi ^{-m}\varkappa ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{r}}}\right\}$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 344. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/361&oldid=- (Version vom 9.9.2019)