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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.35

Nun muß nach dem oben Bewiesenen das Produkt derselben gleich $1$ sein; dies liefert mit Rücksicht auf (178) und auf die letzte Gleichung in (176) die Beziehung

$\prod _{({\mathfrak {w}})}'\left\{{\frac {\xi ^{-m}\varkappa ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$,

wo das Produkt über alle von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenen Primideale ${\mathfrak {w}}$ zu erstrecken ist; daraus folgt dann weiter mit Hilfe von (175)

$\prod _{({\mathfrak {w}})}'\left\{{\frac {\xi ^{-m},\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$ d. h. $\prod _{({\mathfrak {w}})}'\left\{{\frac {\xi ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$;

(179)

der Hilfssatz 48 gilt also auch in dem Falle, daß $\nu$ eine beliebige Einheit in $k(\zeta )$ vorstellt.

Nunmehr sei ${\mathfrak {p}}$ irgendein Primideal der ersten Art, welches die Bedingung $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ erfüllt und folglich in $k({\sqrt[{l}]{\mu }},\zeta )$ zerlegbar ist. Die $r$ Charaktere eines beliebigen Primfaktors von ${\mathfrak {p}}$ sind, wenn $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$ und $\xi$ eine geeignete Einheit in $k(\zeta )$ bedeutet,

$\left\{{\frac {\xi \pi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right\}$, $\left\{{\frac {\xi \pi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{2}}}\right\},\ldots ,\left\{{\frac {\xi \pi ,\mu }{{\mathfrak {l}}_{r}}}\right\}$.

Da das Produkt derselben gleich $1$ sein muß, so folgt wie vorhin:

$\prod _{({\mathfrak {w}})}'\left\{{\frac {\xi \pi ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$

und hieraus wegen (179):

$\prod _{({\mathfrak {w}})}'\left\{{\frac {\pi ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$.

Ist endlich ${\mathfrak {p}}$ ein solches, zu $\mu$ primes Primideal erster Art, für welches $\left\{{\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right\}\neq 1$ ist, so bestimme man ein Primideal zweiter Art ${\mathfrak {q}}$ derart, daß $\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}\neq 1$ ist; dann ist nach Hilfssatz 44 auch $\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}}\right\}\neq 1$. Bedeutet $\varkappa$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {q}}$ und $\varkappa ^{e}$ eine solche Potenz von $\varkappa$, daß $\left\{{\frac {\mu \varkappa ^{e}}{\mathfrak {p}}}\right\}=1$ wird, so ist nach dem soeben Bewiesenen

$\prod _{({\mathfrak {w}})}'\left\{{\frac {\pi ,\mu \varkappa ^{e}}{\mathfrak {w}}}\right\}=1$,

und da auf Grund des Hilfssatzes 47 auch

$\prod _{({\mathfrak {w}})}'\left\{{\frac {\pi ,\varkappa }{\mathfrak {w}}}\right\}=\left\{{\frac {\mathfrak {q}}{\mathfrak {p}}}\right\}^{-1}\left\{{\frac {\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}}\right\}=1$

ausfällt, so folgt weiter

$\prod _{({\mathfrak {w}})}'\left\{{\frac {\pi ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}=1$;

(180)

der Hilfssatz 48 gilt also auch dann, wenn $\nu$ eine Primärzahl eines beliebigen Primideals erster Art ist. Aus (175), (179), (180) folgt die allgemeine Gültigkeit des Hilfssatzes 48.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 345. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/362&oldid=- (Version vom 9.9.2019)