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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.35

§ 170. Das Symbol $\{\nu ,\mu \}$ und das Reziprozitätsgesetz zwischen zwei beliebigen Primidealen.

Wir gelangen jetzt in überraschend einfacher Weise zu der am Anfang dieses Kapitels in Aussicht gestellten neuen Begründung der Theorie des regulären Kummerschen Körpers. Setzen wir, wenn $\nu$ und $\mu$ ganze Zahlen in $k(\zeta )$ bedeuten,

$\{\nu ,\mu \}=\left(\prod _{({\mathfrak {w}})}'\left\{{\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right\}\right)^{-1}$,

(181)

wo das Produkt $\prod _{({\mathfrak {w}})}'$ wiederum über alle von ${\mathfrak {l}}$ verschiedenen Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k(\zeta )$ zu erstrecken ist, so stellt das Symbol $\{\nu ,\mu \}$ eine $l$-te Einheitswurzel dar, die durch die Zahlen $\nu ,\mu$ völlig bestimmt ist, und es folgen aus (80) (S. 265) sofort die Formeln

$\left.{\begin{aligned}\{\nu _{1}\nu _{2},\mu \}=\{\nu _{1},\mu \}\{\nu _{2},\mu \}&,\\\{\nu ,\mu _{1}\mu _{2}\}=\{\nu ,\mu _{1}\}\{\nu ,\mu _{2}\}&,\\\{\nu ,\mu \}\{\mu ,\nu \}=1&,\end{aligned}}\right\}$

(182)

in denen $\nu$, $\nu _{1}$, $\nu _{2}$, $\mu$, $\mu _{1}$, $\mu _{2}$ beliebige ganze Zahlen in $k(\zeta )$ bedeuten. Bezeichnet ferner $r$ eine Primitivzahl nach $l$ und $s=(\zeta :\zeta ^{r})$ die betreffende Substitution der Gruppe von $k(\zeta )$, so folgt

$\{s\nu ,s\mu \}=\{\nu ,\mu \}^{r}$.

(183)

Ferner ergibt sich die Tatsache:

Hilfssatz 49. Wenn $\nu$, $\mu$ zwei primäre Zahlen des Körpers $k(\zeta )$ sind, so hat das Symbol $\{\nu ,\mu \}$ stets den Wert $1$.

Beweis. Zunächst folgt, wenn $a$ irgendeine ganze rationale, zu $l$ und zu $\nu$ prime Zahl ist, mit Rücksicht auf Satz 140 (S. 231) die Gleichung

$\{\nu ,a\}=\left\{{\frac {\nu }{a}}\right\}^{-1}\left\{{\frac {a}{\nu }}\right\}=1$.

(184)

Da $\mu$ eine primäre Zahl sein soll, so ist $\mu \cdot s^{\frac {l-1}{2}}\mu$ einer ganzen rationalen Zahl nach ${\mathfrak {l}}^{l-1}$ kongruent. Infolgedessen können wir dann auch nach ${\mathfrak {l}}^{l}$ eine ganze rationale Zahl $a$ bestimmen, derart, daß die Kongruenz

$a\cdot \mu \cdot s^{\frac {l-1}{2}}\mu \equiv 1$, $({\mathfrak {l}}^{l})$

besteht, und außerdem wieder $a$ prim zu $\nu$ wählen. Nun ergibt sich bei Anwendung des Hilfssatzes 48

$\{\nu ,a\}\{\nu ,\mu \}\{\nu ,s^{\frac {l-1}{2}}\mu \}=\{\nu ,a\cdot \mu \cdot s^{\frac {l-1}{2}}\mu \}=1$,

und folglich wird wegen (184) auch

$\{\nu ,\mu \}\{\nu ,s^{\frac {l-1}{2}}\mu \}=1$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 346. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/363&oldid=- (Version vom 9.9.2019)