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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 7.36

Kummerschen Körpers erscheinen also die Sätze 150 und 151 für ${\mathfrak {w}}={\mathfrak {l}}$ im Gegensatz zu dem früheren Aufbau als die Schlußsteine des ganzen Gebäudes.

36. Die Diophantische Gleichung ${\boldsymbol {\alpha ^{m}+\beta ^{m}+\gamma ^{m}=0}}$.

§ 172. Die Unmöglichkeit der Diophantischen Gleichung $\alpha ^{l}+\beta ^{l}+\gamma ^{l}=0$ für reguläre Primzahlexponenten $l$.

Fermat hat die Behauptung aufgestellt, daß die Gleichung

$a^{m}+b^{m}+c^{m}=0$

in ganzen rationalen, von Null verschiedenen Zahlen $a,\ b,\ c$ für keinen ganzzahligen Exponenten $m>2$ lösbar ist. Wenngleich schon aus der Literatur vor Kummer vereinzelte Resultate über diese Gleichung von Fermat bemerkenswert sind [Abel (1^[1]), Cauchy (1^[2], 2^[3]), Dirichlet (1^[4], 2^[5], 3^[6]), Lamé (1^[7], 2^[8], 3^[9]), Lebesgue (1^[10], 2^[11], 3^[12])], so ist es doch erst Kummer auf Grund der Theorie der Ideale des regulären Kreiskörpers gelungen, den Beweis der Fermatschen Behauptung für sehr umfangreiche Klassen von Exponenten $m$ vollständig zu führen. Die wichtigste von Kummer bewiesene Tatsache ist die folgende:

Satz 168. Wenn $l$ eine reguläre Primzahl bedeutet und $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ irgendwelche ganze Zahlen des Kreiskörpers der $l$-ten Einheitswurzeln sind, von denen keine verschwindet, so besteht niemals die Gleichung

$\alpha ^{l}+\beta ^{l}+\gamma ^{l}=0.$

(185)

[Kummer (1^[13], 9^[14], 11^[15])].

Beweis. Es sei $\zeta =\mathrm {e} ^{\frac {2i\pi }{l}},\ \lambda =1-\zeta ,\ {\mathfrak {l}}=(\lambda ).$ Wir nehmen im Gegensatz zu der Behauptung an, die Gleichung (185) besäße eine Lösung in ganzen Zahlen $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ des Körpers $k(\zeta )$, und unterscheiden dann die zwei Fälle, daß keine der drei ganzen Zahlen $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar ist, oder daß mindestens eine unter ihnen durch ${\mathfrak {l}}$ teilbar ist.

Im ersten Falle sind jedenfalls für den Exponenten $l$ die Werte $3$ und $5$ ausgeschlossen. In der Tat, für $l=3$ wäre jede der drei Zahlen $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma \equiv \pm 1$ nach ${\mathfrak {l}}$ und folglich jede der drei Potenzen $\alpha ^{3},\ \beta ^{3},\ \gamma ^{3}\equiv \pm 1$ nach ${\mathfrak {l}}^{3};$ hieraus würde folgen, daß die Summe dieser drei Potenzen $\equiv \pm 1$ oder $\equiv \pm 3$ nach ${\mathfrak {l}}^{3}$ ausfiele, was mit dem Bestehen der Gleichung (185) nicht verträglich ist. Auf einen ähnlichen Widerspruch gelangen wir für $l=5,$ wenn wir berücksichtigen, daß in diesem Falle jede der drei Zahlen $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma \equiv \pm 1,\ \pm 2$ nach ${\mathfrak {l}}$ und folglich jede der drei Potenzen $\alpha ^{5},\ \beta ^{5},\ \gamma ^{5}\equiv \pm 1,\ \pm 32$ nach ${\mathfrak {l}}^{5}$ sein müßte.

Es sei also $l\geqq 7.$ Gilt die Gleichung (185) für die drei Zahlen $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,$ so ist offenbar auch $\alpha ^{\ast l}+\beta ^{\ast l}+\gamma ^{\ast l}=0,$ wenn $\alpha ^{\ast },\ \beta ^{\ast },\ \gamma ^{\ast }$ bezüglich die Produkte von $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ mit irgendwelchen $l$-ten Einheitswurzeln bedeuten. Wegen dieses Umstandes dürfen wir von vornherein annehmen, daß die drei der

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1. Extraits de quelques lettres à Holmboe. Werke 2, 254.^{[WS 1]}
2. Mémoire sur la théorie des nombres. Comptes Rendus 1840
3. Mémoire sur diverses propositions relatives à la théorie des nombres. (Drei Noten.) Comptes Rendus 1847.
4. Mémoire sur l’impossibilité de quelques équations indéterminées du cinquième degré. Werke 1, 1 (1825). [349]
5. Mémoire sur l’impossibilité de quelques équations indéterminées du cinquième degré. Werke 1, 21 (1825), (1828). [349]
6. Démonstration du théorème de Fermat pour le cas des 14ièmes puissances. Werke 1, 189 (1832). [349];
7. Mémoire d’analyse indéterminée démontrant que l’équation $x^{7}+y^{7}=z^{7}$ est impossible en nombres entiers. J. de Math. 1840.
8. Mémoire sur la résolution, en nombres complexes, de l’équation $A^{5}+B^{5}+C^{5}=0$. J. de Math. 1847.
9. Mémoire sur la résolution, en nombres complexes, de l’équation $A^{n}+B^{n}+C^{n}=0$. J. de Math. 1847.
10. Démonstration de l’impossibilité de résoudre l’équation $x^{7}+y^{7}+z^{7}=0$ en nombres entiers. J. de Math. 1840.
11. Addition à la note sur l’équation $x^{7}+y^{7}+z^{7}=0$. J. de Math. 1840.
12. Théorèmes nouveaux sur l’équation indéterminée $x^{5}+y^{5}=az^{5}$. J. de Math. 1843.
13. De aequatione $x^{2\lambda }+y^{2\lambda }=z^{2\lambda }$ per numeros integros resolvenda. J. Math. 17 (1837).^{[WS 2]}
14. Allgemeiner Beweis des Fermatschen Satzes, daß die Gleichung $x^{\lambda }+y^{\lambda }=z^{\lambda }$ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten $\lambda$, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten ${\frac {1}{2}}(\lambda -3)$ Bernoullischen Zahlen als Faktoren nicht vorkommen. J. Math. 40 (1850).^{[WS 3]}
15. Mémoire sur la théorie des nombres complexes composés de racines de l’unité et des nombres entiers. J. de Math. 16 (1851).

Anmerkungen (Wikisource)

1. Abel, Niels Henrik: Extraits de quelques lettres à Holmboe. In: Lie, Sophus (Hrsg.); Sylow, Peter Ludwig Mejdel^(WP) (Hrsg.): Œuvres complètes – nouvelle édition. Bd. 2. Christiania : Imprimerie de Grøndahl & Søn, 1881, S.254–262 Quellen
2. Kummer, Ernst Eduard: De aequatione $x^{2\lambda }+y^{2\lambda }=z^{2\lambda }$ per numeros integros resolvenda, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 17 (1837), S. 203–209 GDZ Göttingen
3. Kummer, Ernst Eduard: Allgemeiner Beweis des Fermatschen Satzes, daß die Gleichung $x^{\lambda }+y^{\lambda }=z^{\lambda }$ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten $\lambda$, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten ${\frac {1}{2}}(\lambda -3)$ Bernoullischen Zahlen als Faktoren nicht vorkommen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 40 (1850), S. 130–138 GDZ Göttingen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 349. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/366&oldid=- (Version vom 31.7.2018)