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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 4

Von den mannigfachen Folgerungen und Anwendungen, welche die vorstehend entwickelte Theorie zuläßt, seien hier nur einige erwähnt, welche die Erforschung der Diskriminanten der betrachteten Zahlkörper bezwecken.

Es sei $\varkappa$ ein beliebiger Zahlkörper vom Grade $m$; $\omega _{1}$, $\omega _{2}$, …, $\omega _{m}$ mögen eine Basis der ganzen Zahlen des Körpers $\varkappa$ bilden und die zu der Zahl $\omega$ konjugierten $m-1$ Zahlen bezeichnen wir allgemein mit $\omega '$, …, $\omega ^{(m-1)}$. Das Produkt der $m-1$ Ideale^[1]

${\begin{alignedat}{3}&(\omega _{1}-\omega '_{1},&&\omega _{2}-\omega '_{2},\,\ldots ,&&\omega _{m}-\omega '_{m})\\&&&\qquad \vdots \\&(\omega _{1}-\omega _{1}^{(m-1)},\quad &&\omega _{2}-\omega _{2}^{(m-1)},\,\ldots ,\quad &&\omega _{m}-\omega _{m}^{(m-1)})\end{alignedat}}$

ist ein Ideal des Körpers $\varkappa$ und stimmt mit demjenigen überein, welches R. Dedekind das Grundideal dieses Körpers nennt. R. Dedekind hat bewiesen, daß die Norm des Grundideals die Diskriminante des Körpers liefert^[2].

Es seien $s_{1}=1$, $s_{2}$, …, $s_{r}$ die $r$ Substitutionen einer Untergruppe $g$ der Gruppe $G$ und $\varkappa$ sei der zu $g$ gehörige Körper. Sind dann $\Omega _{1}$, $\Omega _{2}$, …, $\Omega _{M}$ eine Basis der ganzen Zahlen des Körpers $K$ und bildet man alle $r$-reihigen Determinanten $\Delta$, $\Delta '$, … der Matrix

${\begin{aligned}s_{1}\Omega _{1},\,&s_{1}\Omega _{2},\,\ldots ,\,s_{1}\Omega _{M},\\s_{2}\Omega _{1},\,&s_{2}\Omega _{2},\,\ldots ,\,s_{2}\Omega _{M},\\&\qquad \vdots \\s_{r}\Omega _{1},\,&s_{r}\Omega _{2},\,\ldots ,\,s_{r}\Omega _{M},\end{aligned}}$

so wird das Quadrat des größten gemeinsamen Idealteilers der Zahlen $\Delta$, $\Delta '$, … die Partialdiskriminante^[3] des Körpers $K$ in bezug auf den Körper $\varkappa$ genannt. Bei Benutzung der von mir angewandten Bezeichnungsweise ist diese also

${\mathfrak {d}}=(\Delta ,\,\Delta ',\,\ldots )^{2}=(\Delta ^{2},\,\Delta '^{2},\,\ldots ).$

Die Partialdiskriminante ${\mathfrak {d}}$ ist ein Ideal, welches im Körper $\varkappa$ liegt.

Auch der Dedekindsche Begriff des Grundideals bedarf einer Verallgemeinerung: wir verstehen unter dem Partialgrundideal ${\mathfrak {G}}_{\varkappa }$ des Körpers $K$ in bezug auf $\varkappa$ das Produkt der folgenden $r-1$ Ideale

${\begin{aligned}{\mathfrak {E}}_{2}=(\Omega _{1}-s_{2}\Omega _{1},\,\Omega _{2}-&s_{2}\Omega _{2},\,\ldots ,\,\Omega _{M}-s_{2}\Omega _{M}),\\&\vdots \\{\mathfrak {E}}_{r}=(\Omega _{1}-s_{r}\Omega _{1},\,\Omega _{2}-&s_{r}\Omega _{2},\,\ldots ,\,\Omega _{M}-s_{r}\Omega _{M}).\end{aligned}}$

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1. Wegen dieser schon mehrmals von mir angewandten Bezeichnungsweise der Ideale vgl. Über die Zerlegung der Ideale eines Zahlkörpers in Primideale. Math. Ann. 44. (Dieser Band Abh. 3, S. 6.)
2. Der nämliche Satz folgt auch auf Grund der schönen Untersuchungen, durch welche neuerdings K. Hensel die Kroneckersche Theorie der algebraischen Zahlen in einem wesentlichen Punkte vervollständigt hat. Vgl. J. Math. 113 (1894).
3. Dieser Begriff der Partialdiskriminante stimmt im wesentlichen mit dem von Kronecker aufgestellten allgemeinen Diskriminantenbegriffe überein, vgl. Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Größen § 8. J. Math. 92 (1882).

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 21. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/38&oldid=- (Version vom 31.7.2018)