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§ 3. Das ambige Ideal.

Definition 3. Ein Ideal des Körpers heißt ein ambiges Ideal, wenn dasselbe bei der Operation ungeändert bleibt, d. h. wenn

ist und wenn außerdem kein von verschiedenes Ideal des Körpers als Faktor enthält. Insbesondere heißt ein Primideal des Körpers ein ambiges Primideal, wenn dasselbe bei Anwendung der Substitution ungeändert bleibt und nicht zugleich im Körper liegt. Jedes ambige Ideal ist ein Produkt von ambigen Primidealen. Das Quadrat eines ambigen Primideals ist gleich der Relativnorm desselben und stellt im Körper selbst ein Primideal dar.

Satz 3[1]. Die Relativdifferente des relativquadratischen Körpers enthält alle und nur diejenigen Primideale, welche ambig sind.

§ 4. Die Primfaktoren der Relativdiskriminante.

Unsere nächste Aufgabe ist es, die Primfaktoren der Relativdiskriminante des Körpers wirklich zu ermitteln. Diese Aufgabe wird durch den folgenden Satz gelöst:

Satz 4. Es sei ein zu primes Primideal des Körpers ; geht dann in der Zahl genau zur -ten Potenz auf, so enthält, wenn der Exponent ungerade ist, die Relativdiskriminante des Körpers stets den Faktor . Ist dagegen der Exponent gerade, so fällt die Relativdiskriminante prim zu aus.

Es sei ein Primideal des Körpers , welches in aufgeht, und zwar genau zur -ten Potenz; ferner gehe in genau zur -ten Potenz auf: so ist die Relativdiskriminante des Körpers stets dann und nur dann zu prim, wenn im Körper eine ganze Zahl vorhanden ist, die der Kongruenz

(1)

genügt.

Beweis. Gehen wir zunächst auf den ersten Teil des Satzes 4 ein. Es sei eine durch , aber nicht durch teilbare ganze Zahl in , und weiter sei eine durch teilbare, aber zu prime ganze Zahl in .

Ist der Exponent ungerade, so stellt eine durch , aber nicht durch teilbare ganze Zahl in dar von der Art, daß die Zahl im Körper liegt und wenn wir den gemeinsamen Idealteiler von und mit bezeichnen, so ist

.


  1. Vgl. „Algebraische Zahlkörper“ Satz 93 (dieser Band S. 154), woselbst dieser Satz allgemein für relativzyklische Körper von einem Primzahlgrade aufgestellt und bewiesen worden ist.
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 374. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/391&oldid=- (Version vom 11.2.2020)