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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.I

§ 6. Das Symbol $\textstyle \mathbf {\left({\frac {\mu }{\mathfrak {a}}}\right)}$.

Definition 4. Wir erweitern nunmehr die Bedeutung des in Definition 1 erklärten Symbols in folgender Weise:

Ist ${\mathfrak {w}}$ irgendein Primideal in $k$, so setzen wir

$\left({\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$ oder $=-1$ oder $=0$,

je nachdem ${\mathfrak {w}}$ im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ in zwei voneinander verschiedene Primideale weiter zerlegbar oder nicht zerlegbar oder gleich dem Quadrat eines Primideals wird. Ist $\mu$ das Quadrat einer Zahl in $k$, so setzen wir stets

$\left({\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$.

Es ist nach den Sätzen 6, 7, 8 leicht möglich, in allen Fällen den Wert des Symbols $\textstyle \left({\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right)$ zu berechnen und wir erkennen aus Satz 7 im Falle, daß ${\mathfrak {w}}$ zu $2$ und $\mu$ prim ausfällt, die volle Übereinstimmung mit der Definition 1. Was insbesondere den Fall anbetrifft, daß ${\mathfrak {w}}$ gleich einem in $2$ aufgehenden Primideal ${\mathfrak {l}}$ des Körpers $k$ ist, so bestimmen wir zunächst die höchste Potenz von ${\mathfrak {l}}$, welche in $\mu$ aufgeht. Ist der Exponent $a$ dieser Potenz ungerade, so haben wir gewiß $\textstyle \left({\frac {\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=0$; ist $a$ dagegen gerade, so bestimmen wir, wenn $\lambda$ eine durch ${\mathfrak {l}}$, aber nicht durch ${\mathfrak {l}}^{2}$ teilbare Zahl bedeutet, eine ganze zu ${\mathfrak {l}}$ prime Zahl $\mu ^{*}$ in $k$ der Art, daß

$\mu \equiv \lambda ^{a}\mu ^{*},\qquad \left({\mathfrak {l}}^{2l+a+1}\right)$.

Ist hier $\mu ^{*}$ nicht dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}^{2l}$ kongruent, so haben wir mit Rücksicht auf die Sätze 4 und 6 ebenfalls $\textstyle \left({\frac {\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=0$; im anderen Fall unterscheiden wir, ob $\mu ^{*}$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ auch nach ${\mathfrak {l}}^{2l+1}$ kongruent ausfällt oder nicht, und haben wegen Satz 8 dementsprechend $\textstyle \left({\frac {\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=+1$ oder $=-1$.

Definition 5. Ist ${\mathfrak {a}}$ ein beliebiges Ideal des Körpers $k$ und hat man ${\mathfrak {a}}={\mathfrak {pq\ldots w}}$, wo ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$, …, ${\mathfrak {w}}$ Primideale in $k$ sind, so möge, wenn $\mu$ eine beliebige ganze Zahl in $k$ ist, das Symbol $\textstyle \left({\frac {\mu }{\mathfrak {a}}}\right)$ durch die folgende Gleichung definiert werden:

$\left({\frac {\mu }{\mathfrak {a}}}\right)=\left({\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {\mu }{\mathfrak {q}}}\right)\cdots \left({\frac {\mu }{\mathfrak {w}}}\right)$.

Sind ${\mathfrak {a}}$, ${\mathfrak {b}}$ beliebige Ideale in $k$, so gilt dann offenbar die Gleichung

$\left({\frac {\mu }{\mathfrak {ab}}}\right)=\left({\frac {\mu }{\mathfrak {a}}}\right)\left({\frac {\mu }{\mathfrak {b}}}\right)$.

Das Symbol $\textstyle \left({\frac {\mu }{\mathfrak {a}}}\right)$ ist durch diese Festsetzungen stets definiert, sobald $\mu$ irgendeine ganze Zahl in $k$ und ${\mathfrak {a}}$ irgendein Ideal in $k$ bedeutet. Das Symbol $\textstyle \left({\frac {\mu }{\mathfrak {a}}}\right)$ ist nur der Werte $+1$, $-1$, $0$ fähig.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 379. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/396&oldid=- (Version vom 9.9.2019)