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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

ist, sich auf eine und nur auf eine Weise in der Gestalt

$\varepsilon =\eta _{1}^{u_{1}}\cdots \eta _{\nu ^{*}}^{u_{\nu ^{*}}}\xi ^{2}$

darstellen läßt, wo die Exponenten $u_{1}$, …, $u_{\nu ^{*}}$ wiederum gewisse Werte $0$, $1$ haben und $\xi$ eine Einheit in $k$ bedeutet.

Wir stellen insbesondere die Einheiten $\eta _{\nu ^{*}+1}$, …, $\eta _{\frac {m}{2}}$ auf diese Weise dar und setzen demgemäß

$\eta _{i}=\eta _{1}^{u_{1}^{(i)}}\cdots \eta _{\nu ^{*}}^{u_{\nu ^{*}}^{(i)}}(\xi ^{(i)})^{2}$,   $\left(i=\nu ^{*}+1,\,\nu ^{*}+2,\,\ldots ,\,{\frac {m}{2}}\right)$,

wo $u_{1}^{(i)}$, …,$u_{\nu ^{*}}^{(i)}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben und $\xi ^{(i)}$ Einheiten in $k$ sind. Die $\textstyle {\frac {m}{2}}-\nu ^{*}$ Ausdrücke

${\mathsf {H}}_{i}^{'}={\mathsf {H}}_{i}{\mathsf {H}}_{1}^{-u_{1}^{(i)}}\cdots {\mathsf {H}}_{\nu ^{*}}^{-u_{\nu ^{*}}^{(i)}}\left(\xi ^{(i)}\right)^{-1},$ $\left(i=\nu ^{*}+1,\,\nu ^{*}+2,\,\ldots ,\,{\frac {m}{2}}\right)$

(1)

sind dann offenbar Einheiten in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$, deren Relativnormen gleich $1$ ausfallen, und folglich erfüllen die $\textstyle {\frac {m}{2}}-\nu ^{*}$ ganzen Zahlen

${\mathsf {M}}_{1}=1+{\mathsf {H}}_{\nu ^{*}+1}^{'},\,\ldots ,\,{\mathsf {M}}_{{\frac {m}{2}}-\nu ^{*}}=1+{\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}^{'}$

bez. die Gleichungen

${\mathsf {M}}_{1}={\mathsf {H}}_{\nu ^{\ast }+1}^{'}\cdot S{\mathsf {M}}_{1},\,\ldots ,\,{\mathsf {M}}_{{\frac {m}{2}}-\nu ^{\ast }}={\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}^{'}\cdot S{\mathsf {M}}_{{\frac {m}{2}}-\nu ^{\ast }}$.

(2)

Wir setzen noch ${\mathsf {M}}={\sqrt {\mu }}$ und betrachten dann die durch

${\mathsf {M}}$, ${\mathsf {M}}_{1}$, …, ${\mathsf {M}}_{{\frac {m}{2}}-\nu ^{\ast }}$

bestimmten Hauptideale

$({\mathsf {M}})={\mathfrak {M}}$, $({\mathsf {M}}_{1})={\mathfrak {M}}_{1}$, …, $\left({\mathsf {M}}_{{\frac {m}{2}}-\nu ^{\ast }}\right)={\mathfrak {M}}_{{\frac {m}{2}}-\nu ^{\ast }}$.

Da wegen (2) diese Hauptideale je ihren relativkonjugierten Idealen gleich ausfallen und mithin Produkte ambiger Ideale mit Idealen in $k$ sein müssen, so können wir wegen Definition 3 setzen:

${\begin{aligned}{\mathfrak {M}}&={\mathfrak {D}}_{1}^{a_{1}}&\dots \;&{\mathfrak {D}}_{t}^{a_{t}}&&{\mathfrak {j}}\\{\mathfrak {M}}_{1}&={\mathfrak {D}}_{1}^{a_{1}^{(1)}}&\dots \;&{\mathfrak {D}}_{t}^{a_{t}^{(1)}}&&{\mathfrak {j}}^{(1)}\\\vdots \;&\quad \;\vdots &\ddots \;&\vdots &\vdots \\{\mathfrak {M}}_{{\frac {m}{2}}-\nu ^{*}}&={\mathfrak {D}}_{1}^{a_{1}\left({\frac {m}{2}}-\nu ^{*}\right)}&\dots \;&{\mathfrak {D}}_{t}^{a_{t}\left({\frac {m}{2}}-\nu ^{*}\right)}&&{\mathfrak {j}}^{\left({\frac {m}{2}}-\nu ^{*}\right)}\end{aligned}}$

(3)

wo ${\mathfrak {D}}_{1}$, …, ${\mathfrak {D}}_{t}$, die $t$ ambigen Primideale des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$, ferner ${\mathfrak {j}}$, ${\mathfrak {j}}^{(1)}$, …, ${\mathfrak {j}}^{\left({\frac {m}{2}}-\nu ^{*}\right)}$ Ideale in $k$ und $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{t}^{\left({\frac {m}{2}}-\nu ^{*}\right)}$ gewisse Exponenten $0$, $1$ bedeuten.

Wir wollen nun beweisen, daß zwischen den Idealen

${\mathfrak {M}},{\mathfrak {M}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {M}}_{{\frac {m}{2}}-\nu ^{*}}$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 398. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/415&oldid=- (Version vom 9.9.2019)