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Zahlkörper. Es zeigt sich bei der Untersuchung, daß in diesem Körper die Idealklassen gewisser leicht zu kennzeichnender Geschlechter aus den Idealklassen der in ihm enthaltenen quadratischen Körper zusammensetzbar sind. Diese auf rein arithmetischem Wege gefundene Tatsache enthält zugleich den vorhin genannten Dirichletschen Satz über die Anzahl der Idealklassen des speziellen Dirichletschen Körpers.

§ 1. Die ganzen Zahlen des Dirichletschen Zahlkörpers.

Der durch die imaginäre Einheit bestimmte quadratische Zahlkörper werde genannt; die ganzen Zahlen dieses Körpers, d. h. die Zahlen von der Form , wo und ganze rationale Zahlen sind, mögen ganze imaginäre Zahlen heißen. Bedeutet eine ganze imaginäre Zahl, welche durch kein Quadrat einer ganzen imaginären Zahl teilbar und von verschieden ist, so bildet die Gesamtheit aller durch und rational ausdrückbaren Zahlen einen Dirichletschen biquadratischen Zahlkörper. Derselbe werde mit bezeichnet; ist der allgemeinste biquadratische Körper, welcher die imaginäre Einheit enthält.

Eine jede Zahl des Körpers läßt sich in die Gestalt

bringen, wo , , ganze imaginäre Zahlen sind. Die Veränderung von in werde durch das Operationssymbol bezeichnet.

Soll nun eine ganze Zahl in sein, so sind notwendig die Zahlen

und

ganze imaginäre Zahlen. Bezeichnet eine in aufgehende von verschiedene Primzahl in , so folgt leicht, daß sowohl als durch teilbar sein müssen, und es kann mithin in Zähler und Nenner von fortgehoben werden. Wäre ferner durch teilbar, so folgt in gleicher Weise, daß und durch teilbar sind, so daß der Faktor in Zähler und Nenner von hebbar ist. Es bleiben mithin nur die beiden Fälle und zu untersuchen übrig. Also folgt, daß in diesen beiden Fällen die Zahl durch bezüglich durch teilbar sein muß. Wäre durch teilbar, so würde mithin das gleiche für folgen und dann wäre wiederum im Zähler und Nenner von hebbar. Nehmen wir andrerseits nicht teilbar durch an, so folgt, daß nach bezüglich nach ist, d. h. muß im Zahlengebiete des Körpers quadratischer Rest von bezüglich von sein. Nun ist quadratischer Rest von , sobald nach wird, dagegen quadratischer Rest von und zugleich quadratischer Nichtrest von , falls nach

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 25. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/42&oldid=- (Version vom 18.8.2016)