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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

Definition 12. Alle diejenigen Idealklassen, denen ein und dasselbe Charakterensystem zugeordnet ist, deren Ideale also sämtlich ein und dasselbe Charakterensystem besitzen, fassen wir zu einem Geschlecht zusammen und definieren insbesondere das Hauptgeschlecht als die Gesamtheit aller derjenigen Klassen, deren Charakterensystem aus lauter Einheiten $+1$ besteht. Da das Charakterensystem der Hauptklasse offenbar von der letzteren Eigenschaft ist, so gehört insbesondere die Hauptklasse stets zum Hauptgeschlecht.

Aus der zweiten Formel des Satzes 14 entnehmen wir leicht die folgenden Tatsachen: Wenn $G$ und $G'$ zwei beliebige Geschlechter sind und die Klassen in $G$ mit den Klassen in $G'$ multipliziert werden, so bilden sämtliche solche Produkte wiederum ein Geschlecht; dieses werde das Produkt der Geschlechter $G$ und $G'$ genannt. Das Charakterensystem desselben erhalten wir durch Multiplikation der entsprechenden Charaktere der beiden Geschlechter $G$ und $G'$.

Jedes Geschlecht des Körpers $K$ enthält gleich viel Klassen, nämlich so viel Klassen als das Hauptgeschlecht. Die zu irgendeiner Klasse $C$ relativ konjugierte Klasse $SC$ gehört zu demselben Geschlechte wie $C$ selbst. Das Quadrat einer jeden Klasse $C$ gehört stets zum Hauptgeschlecht.

Die $h$ Klassen eines beliebigen Komplexes $P$ gehören offenbar sämtlich zu dem nämlichen Geschlecht; ich bezeichne dieses Geschlecht als das Geschlecht des Komplexes $P$.

§ 19. Obere Grenze für die Anzahl der Geschlechter in $\mathbf {K}$.

Es entsteht die wichtige Frage, ob ein System von $r$ beliebig vorgelegten Einheiten $\pm 1$ stets das Charakterensystem für ein Geschlecht in $K$ sein kann. Wir beweisen zunächst einige zur Beantwortung dieser Frage notwendige Hilfssätze.

Satz 24. (Hilfssatz.) Wenn $t$ und $\nu$ die Bedeutung wie in Satz 23 haben und $r$ wie in § 17 die Anzahl der Charaktere ist, welche das Geschlecht einer Idealklasse in $K$ bestimmen, so ist stets

$t+\nu -{\frac {m}{2}}\leqq r.$

Beweis. Im Beweise zu Satz 22 und Satz 23 sind $\nu ^{*}$ Einheiten $\eta _{1}$, …, $\eta _{\nu ^{*}}$ und $\nu -\nu ^{*}$ Einheiten $\vartheta _{1}$, …, $\vartheta _{\nu -\nu ^{*}}$ mit gewissen dort entwickelten Eigenschaften aufgestellt worden. Es seien ferner $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r^{*}}$ diejenigen besonderen $r^{*}$ Einheiten des Körpers $k$, die in § 17 eingeführt worden sind; dann ist $r=t-r^{*}$. Wir beweisen zunächst, daß die $r^{*}+\nu$ aus

$\varepsilon _{1},\,\ldots ,\varepsilon _{r^{*}},\quad \eta _{1},\,\ldots ,\eta _{\nu ^{*}},\quad \vartheta _{1},\,\ldots ,\vartheta _{\nu -\nu ^{*}}$

entspringenden Einheitenverbände voneinander unabhängig sind. In der Tat, nehmen wir an, es gäbe zwischen den genannten $r^{*}+\nu$ Einheiten eine Relation von der Gestalt

$\varepsilon _{1}^{a_{1}}\ldots \varepsilon _{r^{*}}^{a_{r^{*}}}\eta _{1}^{b_{1}}\ldots \eta _{\nu ^{*}}^{b_{\nu ^{*}}}\vartheta _{1}^{c_{1}}\ldots \vartheta _{\nu -\nu ^{*}}^{c_{\nu -\nu ^{*}}}=\xi ^{2},$

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Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 409. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/426&oldid=- (Version vom 9.9.2019)