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so daß die Exponenten , ..., , , ..., , , ..., gewisse Werte , , jedoch nicht sämtlich den Wert haben und eine geeignete Einheit in vorstellt: dann müßte für jedes Primideal des Körpers

ausfallen, und wenn wir berücksichtigen, daß die Einheiten

, ..., ,   , ...,

sämtlich Relativnormen von Zahlen in sind und daher auch stets

,  

sein muß, so ergibt sich

.

Hierin setzen wir der Reihe nach für jedes der in der Relativdiskriminante von aufgehenden Primideale , ..., ein und erhalten so die Gleichungen

,   . (2)

Wegen des in § 17 aufgestellten Systems von Formeln (1) für die Einheiten , ..., können diese Gleichungen (2) nur bestehen, wenn die Exponenten , ..., sämtlich gerade und also gleich sind. Die Relation (1) erhält dann die Gestalt

.

Das Bestehen dieser Relation ist aber, da nach § 16 die durch , ..., , , ..., bestimmten Einheitenverbände voneinander unabhängig sind, nur möglich, falls die Exponenten , ..., , , ..., sämtlich gerade und also gleich sind. Daraus folgt, daß eine Relation von der Gestalt (1), wie wir sie annahmen, nicht statthaben kann, d. h. die aus den Einheiten , ..., , , ..., , , ..., entspringenden Verbände sind voneinander unabhängig; durch Multiplikation erhalten wir also aus diesen Verbänden genau voneinander verschiedene Einheitenverbände in , und da es im ganzen in nach § 11 nur Einheitenverbände gibt, so haben wir . Hiermit deckt sich die Aussage des Satzes 24.

Da nach der Bemerkung am Schluß von § 15 stets und also um so mehr ausfällt, so folgt aus Satz 24 insbesondere und also .

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 410. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/427&oldid=- (Version vom 23.2.2020)