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Die nämliche Betrachtung gilt für jedes in aufgehende Primideal und daher erhalten wir

,  

und schließen hieraus

,

d. h. die beiden ganzen Zahlen des Systems (2) waren nicht voneinander verschieden. Bezeichnen wir die verschiedenen in aufgehenden Primideale des Körpers mit , ..., , so haben wir[1]

es ist somit und die Zahlen von der Gestalt (2), deren Anzahl ist, bilden folglich ein volles System von Resten nach dem Modul , die zu prim sind; dies ist die Aussage des Satzes 29.

§ 22. Die unendliche Reihe .

Ehe wir näher die Natur der primären Primideale ergründen, entwickeln wir einige Sätze, die sich an die Überlegungen in § 13 anschließen.

Satz 30. (Hilfssatz.) Die reellen Veränderlichen , ..., mögen als rechtwinklige Koordinaten eines -dimensionalen Raumes betrachtet werden und es sei in diesem Raume eine endliche Anzahl von -dimensionalen Flächenscharen durch Gleichungen von der Gestalt

gegeben, wo , , ... analytische Funktionen der Argumente , ..., , bedeuten, die in der Umgebung des Parameterwertes sich regulär verhalten; diese Flächen mögen, wenn wir dem Parameter einen festen positiven Wert oder den Wert erteilen, einen bestimmten ganz im Endlichen gelegenen Teil des -dimensionalen Raumes abgrenzen. Nunmehr wählen wir für den Parameter einen positiven Wert und fixieren in dem -dimensionalen Raume alle Punkte, deren Koordinaten von der Form

sind, wo , , ..., sämtliche ganze rationale Zahlen durchlaufen: dann wird die Anzahl aller derjenigen solchen Punkte, die in jenem Raume liegen, durch die Formel

dargestellt, wo den Inhalt des für sich ergebenden Raumes und

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 416. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/433&oldid=- (Version vom 23.2.2020)
  1. Vgl. „Algebraische Zahlkörper“ Satz 23 (dieser Band Abh. 7 S. 82).