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ist, so erhalten wir weiter

,

und wegen (7) und (8) folgt hieraus

. (9)

Da nach dem vorhin Bewiesenen für unendlich wachsende zwischen endlichen Grenzen bleibt und der Wert der unendlichen Reihe

für gegen eine endliche Grenze konvergiert, so folgt aus (9), daß auch die unendliche Summe

(10)

eine Funktion von darstellt, welche für gegen eine endliche Grenze konvergiert.

Setzen wir in (10) , so gehört das zu prime Ideal der Klasse an und wir erhalten mit Rücksicht auf die Gleichung

aus der zuletzt bewiesenen Tatsache das Resultat, daß die über alle zu primen Ideale der Klasse zu erstreckende unendliche Summe

(11)

ebenfalls eine Funktion von darstellt, welche für gegen eine endliche Grenze konvergiert. Bilden wir die dem Ausdrucke (11) entsprechenden unendlichen Summen unter Benutzung der verschiedenen Klassen des Körpers und addieren alle so entstehenden unendlichen Summen, so erkennen wir, daß auch die über alle zu primen Ideale des Körpers erstreckte unendliche Summe

(12)

für gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert.

Nun ist

,
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 422. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/439&oldid=- (Version vom 23.2.2020)