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Wir erhalten somit die gewünschte Zerlegung

wo ein Primideal bedeutet und das konjugierte Primideal wegen notwendig von verschieden ist.

Die Primzahlen der zweiten Art sind auch im Körper Primzahlen. Denn wäre die Zahl zerlegbar, so wähle man in eine ganze Zahl , welche nicht durch , wohl aber durch ein in aufgehendes Primideal teilbar ist. Da dann notwendig prim zu sein muß, dagegen durch teilbar wird, so würde nach folgen, was der Voraussetzung zuwider läuft.

Um ferner die von verschiedenen in aufgehenden Primzahlen des Körpers in ihre idealen Faktoren zu zerlegen, bezeichnen wir dieselben mit , …, und setzen demgemäß bezüglich je nachdem durch nicht teilbar oder teilbar ist. Es folgt leicht, daß

, …,

Primideale im Körper sind und daß

, …,

wird.

Was endlich die Zerlegung der Zahl betrifft, so untersuchen wir zunächst den Fall nach und finden, daß unzerlegbar ist, falls nach ausfällt. Ist dagegen nach ‚ so wird

,

wo die beiden Klammern rechter Hand Primideale des Körpers darstellen, welche wegen notwendig voneinander verschieden sind. In allen anderen Fällen ist das Quadrat des Ideals , wie eine leichte Rechnung zeigt. Wir erkennen somit, daß dann und nur dann das Quadrat eines Primideals wird, wenn in der Partialdiskriminante des Körpers aufgeht. Die Zerlegung der Zahl ist in folgender Tabelle dargestellt:

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 27. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/44&oldid=- (Version vom 31.7.2018)