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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

nehmen also an, die Anzahl $e$ derjenigen unter den Exponenten $v_{1}$, ..., $v_{\frac {m}{2}}$, welche gleich $1$ ausfallen, sei größer als $0$.

Setzen wir

$\mu =\pi ^{\ast }\varepsilon \varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}$,

so besitzt nach Satz 5 der relativquadratische Körper $K({\sqrt {\mu }})$ eine zu $2$ prime Relativdiskriminante. Für diesen Fall ist der Satz 26 von uns bereits bewiesen worden. Indem wir die in Definition 11 gebrauchten Bezeichnungen beibehalten, haben wir offenbar

$t=e+1,\quad r^{\ast }=e,\quad r=t-r^{\ast }=1$,

und nach dem Satze 26 ist folglich die Anzahl $g$ der Geschlechter des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ höchstens gleich $1$ und also gleich $1$, d. h. alle Idealklassen des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ sind vom Hauptgeschlecht.

Aus der eben bewiesenen Tatsache ziehen wir folgende Schlüsse: es sei ${\mathfrak {r}}$ irgendein zu $2$ primes Primideal in $k$ mit der Eigenschaft

$\left({\frac {\mu }{\mathfrak {r}}}\right)=+1$,

so daß ${\mathfrak {r}}$ nach Satz 7 in $K({\sqrt {\mu }})$ in das Produkt zweier Primideale ${\mathfrak {R}}$, $S{\mathfrak {R}}$ zerfällt. Soll nun ${\mathfrak {R}}$ zum Hauptgeschlechte gehören, so muß das Charakterensystem dieses Primideals im Körper $K({\sqrt {\mu }})$ aus lauter Einheiten $+1$ bestehen; es muß also das Charakterensystem einer Zahl $\xi \varrho$, wobei $\xi$ eine geeignete Einheit in $k$ und $\varrho$ eine ganze Zahl in $k$ mit der Eigenschaft ${\mathfrak {r}}^{h}=(\varrho )$ bedeutet, aus lauter Einheiten $+1$ bestehen. Wir bilden insbesondere den Charakter der Zahl $\xi \varrho$ in bezug auf das in der Relativdiskriminante von $K({\sqrt {\mu }})$ aufgehende Primideal ${\mathfrak {p}}$ und erhalten dadurch

$\left({\frac {\xi \varrho ,\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\xi \varrho }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$,

und wenn wir berücksichtigen, daß ${\mathfrak {p}}$ ein primäres Primideal ist, so wird

$\left({\frac {\xi \varrho }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varrho }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$,

d. h. jedes Primideal ${\mathfrak {r}}$, für welches $\textstyle \left({\frac {\mu }{\mathfrak {r}}}\right)=+1$ ausfällt, besitzt auch die Eigenschaft $\textstyle \left({\frac {\mathfrak {r}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$.

Wir bestimmen nun an Stelle der Primideale ${\mathfrak {q}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}$ irgend ${\frac {m}{2}}$ andere Primideale ${\mathfrak {q}}'_{1}$, ..., ${\mathfrak {q}}'_{\frac {m}{2}}$ mit den entsprechenden Eigenschaften

$\left({\frac {\varepsilon _{i}}{{\mathfrak {q}}'_{i}}}\right)=-1,\quad \left({\frac {\varepsilon _{k}}{{\mathfrak {q}}'_{i}}}\right)=+1,\quad (i\neq k),$

$\left(i,k=1,2,\dotsc ,{\frac {m}{2}}\right)$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 424. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/441&oldid=- (Version vom 23.2.2020)