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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

§ 25. Das Produkt $\prod _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)$ für ein zu $2$ primes $\nu$ und bei gewissen Annahmen über $\mu$.

Wir sind jetzt imstande, einen weiteren wichtigen Bestandteil des Reziprozitätsgesetzes für quadratische Reste im Körper $k$ abzuleiten.

Satz 36. Wenn $\nu$, $\mu$ zu $2$ prime ganze Zahlen in $k$ sind und überdies die Zahl $\mu$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul $2^{2}$ kongruent wird, so ist stets

$\prod _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$,

wo das Produkt über sämtliche zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$ des Körpers $k$ erstreckt werden soll.

Beweis. Wir nehmen erstens $\nu$ gleich einer Zahl $\varkappa$ des Körpers $k$ an, die von der Beschaffenheit ist, daß das Ideal $(\varkappa )$ die $h$-te Potenz eines nichtprimären Primideals ${\mathfrak {q}}$ in $k$ wird; die Zahl $\mu$ dagegen sei ein Produkt von lauter Potenzen primärer Primideale. Bedeuten ${\mathfrak {d}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {d}}_{t}$ diejenigen unter diesen Primfaktoren von $\mu$, die in $\mu$ zu einer ungeraden Potenz aufgehen, so finden wir, wenn bez. $\delta _{1}$, ..., $\delta _{t}$ Primärzahlen von ${\mathfrak {d}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {d}}_{t}$ bezeichnen, bei Anwendung des Satzes 28 leicht die Gleichung

$\mu ^{h}=\delta _{1}\cdots \delta _{t}\alpha ^{2}$,

(1)

wo $\alpha$ eine geeignete ganze Zahl in $k$ bedeutet. Wir betrachten den Körper $K({\sqrt {\mu }})$; nach Satz 4 sind ${\mathfrak {d}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {d}}_{t}$ die in der Relativdiskriminante von $K({\sqrt {\mu }})$ aufgehenden Primideale. Da diese $t$ Primideale sämtlich primär sein sollen und mithin für jede Einheit $\xi$ stets

$\left({\frac {\xi ,\mu }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)=\left({\frac {\xi }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)=+1,\qquad (i=1,2,\dotsc ,t)$

ausfällt, so ist $r=t$ die Anzahl der Charaktere, welche das Geschlecht einer Klasse in diesem Körper $K({\sqrt {\mu }})$ bestimmen; es gibt daher nach Satz 26 in $K({\sqrt {\mu }})$ höchstens $2^{t-1}$ Geschlechter.

Wir weisen nun nach, daß im Körper $K({\sqrt {\mu }})$ wirklich $2^{t-1}$ Geschlechter vorhanden sind. Zu dem Zwecke bezeichnen wir mit $c_{1}$, ..., $c_{t}$ irgend $t$ solche Einheiten $\pm 1$, deren Produkt gleich $+1$ ist, und bestimmen dann ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $k$, welches den Bedingungen

$\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1,\dotsc ,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$,

(2)

$\left({\frac {\delta _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)=c_{1},\dotsc ,\left({\frac {\delta _{t}}{\mathfrak {p}}}\right)=c_{t}$

(3)

genügt, wobei $\varepsilon _{1}$, ..., $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$ das zu Beginn von § 21 aufgestellte System von Einheiten in $k$ bedeuten soll; nach Satz 18 gibt es sicher Primideale ${\mathfrak {p}}$ von der verlangten

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 428. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/445&oldid=- (Version vom 23.2.2020)