Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/448

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

und diese lehrt die Richtigkeit des Satzes 36 für den an zweiter Stelle behandelten Fall.

Wir nehmen drittens an, es sei $\nu$ gleich einer Einheit $\varepsilon$ in $k$, während $\mu$ beliebige primäre oder nichtprimäre Primideale enthalten möge. Wir betrachten den Relativkörper $K({\sqrt {\mu }})$. Bedeuten, wie in unserem ersten Falle, ${\mathfrak {d}}_{1},\dotsc ,{\mathfrak {d}}_{t}$ diejenigen unter den Primfaktoren von $\mu$, die in $\mu$ zu einer ungeraden Potenz aufgehen, und sind $\delta _{1},\dotsc ,\delta _{t}$ solche ganze Zahlen in $k$, daß

$(\delta _{1})={\mathfrak {d}}_{1}^{h},\dotsc ,(\delta _{t})={\mathfrak {d}}_{t}^{h}$

wird, so finden wir eine Gleichung von der Gestalt

$\mu ^{h}=\eta \delta _{1}\cdots \delta _{t}\alpha ^{2}$,

(12)

wo $\eta$ eine Einheit in $k$ und $\alpha$ eine ganze Zahl in $k$ bezeichnet. Nach Satz 4 sind ${\mathfrak {d}}_{1},\dotsc ,{\mathfrak {d}}_{t}$ die in der Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ aufgehenden Primideale. Wir bezeichnen mit $r$ die Anzahl der Charaktere, die das Geschlecht einer Klasse in $K({\sqrt {\mu }})$ bestimmen, und es seien unter den Primidealen ${\mathfrak {d}}_{1},\dotsc ,{\mathfrak {d}}_{t}$ die Primideale ${\mathfrak {d}}_{t}$, ${\mathfrak {d}}_{t-1},\dotsc ,{\mathfrak {d}}_{r+1}$ nach der in Definition 11 gemachten Vorschrift ausgewählt. Dann beweisen wir folgende Tatsache: wenn $c_{1},\dotsc ,c_{r}$ irgend $r$ Einheiten $\pm 1$ sind, deren Produkt $c_{1}\cdots c_{r}=+1$ ausfällt, so gibt es im Körper $K({\sqrt {\mu }})$ stets Ideale, deren Charaktere mit $c_{1},\dotsc ,c_{r}$ übereinstimmen. In der Tat nach Satz 18 gibt es in $k$ sicher ein Primideal ${\mathfrak {p}}$, welches den Gleichungen

$\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1,\dotsc ,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$,

(13)

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {\delta _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)&=c_{1},&\dotsc ,&&\left({\frac {\delta _{r}}{\mathfrak {p}}}\right)&=c_{r},\\\left({\frac {\delta _{r+1}}{\mathfrak {p}}}\right)&=+1,&\dotsc ,&&\left({\frac {\delta _{t}}{\mathfrak {p}}}\right)&=+1\end{aligned}}\right\}$

(14)

genügt. Wegen (13) ist ${\mathfrak {p}}$ ein primäres Primideal; es sei $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$. Vermöge des Satzes 35 bez. der Relation (7) folgen aus (14) die Gleichungen

$\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right)=c_{1},\dotsc ,\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{r}}}\right)=c_{r},\qquad \left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{r+1}}}\right)=1,\dotsc ,\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=+1$.

(15)

Da $c_{1}\cdots c_{r}=+1$ sein soll, so erhalten wir aus (14)

$\left({\frac {\delta _{1}\cdots \delta _{t}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$

und folglich ist wegen (12)

$\left({\frac {\mu ^{h}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$,

d. h. ${\mathfrak {p}}$ zerfällt in $K({\sqrt {\mu }})$ in zwei Primfaktoren. Die Charaktere eines jeden dieser Primfaktoren stimmen wegen (15) mit $c_{1},\dotsc ,c_{r}$ überein.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 431. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/448&oldid=- (Version vom 23.2.2020)