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Da die Anzahl der Systeme von je Einheiten mit der Bedingung gleich ist und andererseits nach Satz 26 im Körper nicht mehr als Geschlechter existieren können, so schließen wir, wie in unserem ersten Falle, daß das Charakterensystem eines jeden in vorhandenen Geschlechtes notwendig die Bedingung erfüllen muß.

Um aus dieser Tatsache im gegenwärtigen dritten Falle den Satz 36 zu beweisen, sei ein Primideal, welches den Bedingungen

(16)
(17)
(18)

genügt. Wegen der Gleichung (16) zerfällt im Körper in zwei Primfaktoren und wegen der Gleichungen (17) ist ein primäres Primideal; es sei eine Primärzahl von . Wegen (18) erhalten wir unter Benutzung des Satzes 35 bez. der Relation (7) die Gleichungen

, (19)

und daher haben die Charaktere eines Primfaktors von folgende Werte

.

Nun muß nach dem vorhin Bewiesenen das Produkt dieser Charaktere gleich sein; dies liefert mit Rücksicht auf (16) und (19) die Beziehung

,

und da wegen der an zweiter Stelle bewiesenen Tatsache

sein muß, so folgt auch die Gleichung

, (20)

womit der Satz 36 unter den an dritter Stelle gemachten Annahmen als richtig erkannt ist. Das Produkt ist hier wie auch im folgenden stets über alle zu primen Primideale des Körpers zu erstrecken.

Wir machen viertens die Annahme, daß die -te Potenz eines nichtprimären Primideals sei, und setzen , wo eine ganze Zahl in bedeutet; die Zahl enthalte jedoch beliebig viele primäre oder nicht primäre Primideale

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 432. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/449&oldid=- (Version vom 23.2.2020)