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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

Da die Anzahl der Systeme von je $r$ Einheiten $c_{1},\dotsc ,c_{r}$ mit der Bedingung $c_{1}\ldots c_{r}=+1$ gleich $2^{r-1}$ ist und andererseits nach Satz 26 im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ nicht mehr als $2^{r-1}$ Geschlechter existieren können, so schließen wir, wie in unserem ersten Falle, daß das Charakterensystem $c_{1},\dotsc ,c_{r}$ eines jeden in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ vorhandenen Geschlechtes notwendig die Bedingung $c_{1}\ldots c_{r}=+1$ erfüllen muß.

Um aus dieser Tatsache im gegenwärtigen dritten Falle den Satz 36 zu beweisen, sei ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal, welches den Bedingungen

$\left({\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=+1,$

(16)

$\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1,\,\left({\frac {\varepsilon _{2}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1,\,\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1,$

(17)

$\left({\frac {\delta _{r+1}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon }{{\mathfrak {d}}_{r+1}}}\right),\left({\frac {\delta _{r+2}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon }{{\mathfrak {d}}_{r+2}}}\right),\dotsc ,\left({\frac {\delta _{t}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)$

(18)

genügt. Wegen der Gleichung (16) zerfällt ${\mathfrak {p}}$ im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ in zwei Primfaktoren und wegen der Gleichungen (17) ist ${\mathfrak {p}}$ ein primäres Primideal; es sei $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$. Wegen (18) erhalten wir unter Benutzung des Satzes 35 bez. der Relation (7) die Gleichungen

$\left({\frac {\varepsilon \pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon \pi }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)=+1\qquad (i=r+1,r+2,\dotsc ,t)$,

(19)

und daher haben die $r$ Charaktere eines Primfaktors von ${\mathfrak {p}}$ folgende Werte

$\left({\frac {\varepsilon \pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right),\left({\frac {\varepsilon \pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{2}}}\right),\dotsc ,\left({\frac {\varepsilon \pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{r}}}\right)$.

Nun muß nach dem vorhin Bewiesenen das Produkt dieser Charaktere gleich $+1$ sein; dies liefert mit Rücksicht auf (16) und (19) die Beziehung

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\varepsilon \pi ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$,

und da wegen der an zweiter Stelle bewiesenen Tatsache

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\pi ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$

sein muß, so folgt auch die Gleichung

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\varepsilon ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$,

(20)

womit der Satz 36 unter den an dritter Stelle gemachten Annahmen als richtig erkannt ist. Das Produkt $\textstyle \prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }$ ist hier wie auch im folgenden stets über alle zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$ des Körpers $k$ zu erstrecken.

Wir machen viertens die Annahme, daß $\nu$ die $h$-te Potenz eines nichtprimären Primideals ${\mathfrak {q}}$ sei, und setzen $(\varkappa )={\mathfrak {q}}^{h}$, wo $\varkappa$ eine ganze Zahl in $k$ bedeutet; die Zahl $\mu$ enthalte jedoch beliebig viele primäre oder nicht primäre Primideale

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 432. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/449&oldid=- (Version vom 23.2.2020)