Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/450

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als Faktoren. Wir betrachten den Körper , wenden für ihn die Bezeichnungen wie im vorigen Falle an und entnehmen aus der Behandlung dieses dritten Falles die Tatsache, daß das Produkt der Charaktere eines Geschlechtes in gleich sein muß. Es sei zunächst ; dann zerfällt im Körper in zwei Primfaktoren. Die Charaktere eines jeden dieser Primfaktoren von sind, wenn eine geeignete Einheit in bedeutet, und im übrigen die Bezeichnungsweise, die im dritten Falle benutzt wurde, beibehalten wird:

(21)

während überdies die Gleichungen

(22)

gelten. Durch Multiplikation dieser Gleichungen (21), (22) folgt leicht

und vermöge der im dritten Falle bewiesenen Relation (20) schließen wir hieraus

(23)

Fällt andererseits aus, so bestimmen wir ein primäres Primideal von der Art, daß ausfällt. Bezeichnet eine Primärzahl von , so erhalten wir wegen (7) , und folglich wird . Nach der eben bewiesenen Formel (23) folgt mithin, wenn wir jetzt an Stelle von nehmen,

und hieraus wiederum mit Hinzuziehung von (11)

(24)

damit ist der Satz 36 auch unter der vierten Annahme bewiesen.

Wir beweisen endlich den Satz 36 allgemein. Zu dem Zwecke setzen wir

wo eine Einheit in und , , …, sei es Primärzahlen von primären Primidealen, sei es solche ganze Zahlen in bedeuten, die -te Potenzen von nichtprimären Primidealen darstellen. Dann entnehmen wir aus (20), (11), (24) die