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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

Wegen $-3\equiv 1^{2}$ und $5\equiv 1^{2}$ nach $2^{2}$ sind (3), (5) nach Satz 39 primäre Ideale und mithin folgt

${\begin{aligned}\left({\frac {\vartheta }{3}}\right)&=&\left({\frac {\vartheta }{1-\vartheta }}\right)\left({\frac {\vartheta }{2+\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}}}\right)=&+1,\\\left({\frac {\vartheta }{5}}\right)&=&\left({\frac {\vartheta }{1+\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}}}\right)\left({\frac {\vartheta }{2-4\vartheta +2\vartheta ^{2}-\vartheta ^{3}}}\right)=&+1;\end{aligned}}$

hieraus entnehmen wir mit Rücksicht auf (14), daß notwendig

$\left({\frac {\vartheta }{2+\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}}}\right)=+1$ und $\left({\frac {\vartheta }{2-4\vartheta +2\vartheta ^{2}-\vartheta ^{3}}}\right)=-1$

(15)

sein muß. In der Tat wird die erstere Gleichung durch die Kongruenz

$\vartheta \equiv (\vartheta -\vartheta ^{2})^{2},\quad (2+\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3})$

bestätigt. Um die letztere Gleichung zu bestätigen, berücksichtigen wir, daß wegen

${\begin{aligned}\vartheta ^{3}\equiv 2(1-\vartheta )^{2},\qquad (2-4\vartheta +2\vartheta ^{2}-\vartheta ^{3})\\\left({\frac {\vartheta }{2-4\vartheta +2\vartheta ^{2}-\vartheta ^{3}}}\right)=\left({\frac {2}{2-4\vartheta +2\vartheta ^{2}-\vartheta ^{3}}}\right)\end{aligned}}$

und wegen

$2^{\frac {5^{3}-1}{2}}\equiv -1,\qquad (5)$

nach Satz 1

$\left({\frac {2}{2-4\vartheta +2\vartheta ^{2}-\vartheta ^{3}}}\right)=-1$

ausfällt

Die Zahl $7$ ist in $k(\vartheta )$ unzerlegbar und wegen $-7\equiv 1^{2}$ nach $2^{2}$ muß demnach $\vartheta$ nach $7$ quadratischer Rest in $k(\vartheta )$ sein; in der Tat finden wir

$\vartheta \equiv (\vartheta +\vartheta ^{2}+3\vartheta ^{3})^{2},\quad (7)$.

Die Zahlen $2-\vartheta$, $2-\vartheta ^{2}$ sind Primzahlen ersten Grades in $k(\vartheta )$ mit den Normen 19 bez. 23. Wir erhalten leicht

${\begin{aligned}\left({\frac {-1}{2-\vartheta }}\right)&=-1,&\left({\frac {\vartheta }{2-\vartheta }}\right)&=-1\\\left({\frac {-1}{2-\vartheta ^{2}}}\right)&=-1,&\left({\frac {\vartheta }{2-\vartheta ^{2}}}\right)&=+1.\end{aligned}}$

Hieraus und aus (13), (14), (15) entnehmen wir die Gleichungen

$\left({\frac {-1}{(1-\vartheta )(2-\vartheta )(2-4\vartheta +2\vartheta ^{2}-\vartheta ^{3})}}\right)=+1,\quad \left({\frac {-1}{(1-\vartheta )(2-\vartheta ^{2})}}\right)=+1.$

Dem Satze 38 zufolge muß daher jedes der beiden betreffenden Primzahlprodukte nach Multiplikation mit einer geeigneten Einheit dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k(\vartheta )$ nach dem Modul $2^{2}$ kongruent werden; in der Tat ist

${\begin{aligned}&-(1-\vartheta )(2-\vartheta )(2-4\vartheta +2\vartheta ^{2}-\vartheta ^{3})&\equiv &(1-\vartheta )^{2}&,&\quad (2^{2})\\&-\vartheta (1-\vartheta )(2-\vartheta ^{2})&\equiv &(\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3})^{2}&,&\quad (2^{2}).\end{aligned}}$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 443. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/460&oldid=- (Version vom 9.9.2019)