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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

Satz 42. Es mögen $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$, ${\mathfrak {q}}_{1}$, …, ${\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}$, $\varkappa _{1}$, …, $\varkappa _{\frac {m}{2}}$ die Bedeutung wie in Satz 29 haben; ferner werde

$2={\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{l_{z}}$

gesetzt, wo ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ die voneinander verschiedenen Primfaktoren der Zahl $2$ in $k$ und ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ die Potenzexponenten bedeuten, zu denen bez. jene Primideale in der Zahl $2$ aufgehen. Es werde

${\mathfrak {l}}_{1}^{h}=(\lambda _{1})$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}^{h}=(\lambda _{z})$

gesetzt, wo $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{z}$ gewisse ganze Zahlen in $k$ sind; endlich seien ${\mathfrak {p}}_{1}$, …, ${\mathfrak {p}}_{z}$ solche primäre Primideale, daß allemal

$\left({\frac {\lambda _{i}}{{\mathfrak {p}}_{i}}}\right)=-1,\quad \left({\frac {\lambda _{k}}{{\mathfrak {p}}_{i}}}\right)=+1,\quad (i\neq k)\qquad (i,\,k=1,\,2,\,\ldots ,\,z)$

ausfällt, und es seien $\pi _{1}$, …, $\pi _{z}$ bez. Primärzahlen der primären Primideale ${\mathfrak {p}}_{1}$, …, ${\mathfrak {p}}_{z}$: dann gilt für jede beliebige zu $2$ prime ganze Zahl $\omega$ in $k$ eine Kongruenz von der Gestalt

$\omega \equiv \varepsilon _{1}^{u_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\pi _{1}^{w_{1}}\cdots \pi _{z}^{w_{z}}\alpha ^{2},\qquad ({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}),$

wo die Exponenten $u_{1}$, …, $u_{\frac {m}{2}}$, $v_{1}$, …, $v_{\frac {m}{2}}$, $w_{1}$, …, $w_{z}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben und $\alpha$ eine geeignete ganze Zahl in $k$ bedeutet.

Beweis. Wir behandeln zunächst die Annahme, es gäbe $m+z$ Exponenten $u_{1}$, …, $u_{\frac {m}{2}}$, $v_{1}$, …, $v_{\frac {m}{2}}$, $w_{1}$, …, $w_{z}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben, aber nicht sämtlich gleich $0$ sind, derart, daß die vermöge dieser Exponenten gebildete Zahl

$\mu =\varepsilon _{1}^{u_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\pi _{1}^{w_{1}}\cdots \pi _{z}^{w_{z}}$

(1)

dem Quadrat einer gewissen ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent werde. Die Zahl ${\sqrt {\mu }}$ bestimmt dann offenbar einen relativquadratischen Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$, und zufolge des Satzes 5 ist die Relativdiskriminante dieses Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ prim zu $2$. Aus dem Beweise zu Satz 29 schließen wir, daß die Exponenten $u_{1}$, …, $u_{\frac {m}{2}}$, $v_{1}$, …, $v_{\frac {m}{2}}$ im Ausdruck (1) sämtlich gleich $0$ sind. Die Relativdiskriminante von $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ besitzt demnach mit Rücksicht auf Satz 4 keines der Primideale ${\mathfrak {l}}_{1}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$, ${\mathfrak {q}}_{1}$, …, ${\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}$ als Faktor, sondern enthält lediglich diejenigen unter den Primidealen ${\mathfrak {p}}_{1}$, …, ${\mathfrak {p}}_{z}$, für welche in (1) bez. die Exponenten $w_{1}$, …, $w_{z}$ gleich $1$ ausfallen; es seien dies etwa die $t$ Primideale ${\mathfrak {p}}_{1}$, …, ${\mathfrak {p}}_{t}$. Infolge unserer Annahme ist dann notwendig $t>0$.

Wir dürfen nunmehr Satz 41 anwenden, da derselbe in § 29 für den hier zutreffenden Fall bewiesen worden ist. Nach diesem Satze gibt es, da hier $r=t$ ausfällt, im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ genau $2^{t-1}$ Geschlechter und das Produkt

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 448. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/465&oldid=- (Version vom 9.9.2019)