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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

und da $\delta$ zu ${\mathfrak {l}}$ prim ist, so erweist sich mithin $\nu _{2}$ als Normenrest des Körpers $K\left({\sqrt {\mu _{2}}}\right)$ nach ${\mathfrak {l}}$.

Wir haben also bewiesen, daß allemal, wenn $\textstyle \left({\frac {\nu _{1},\,\mu _{1}}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$ ist, auch $\textstyle \left({\frac {\nu _{2},\,\mu _{2}}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$ sein muß. Da nun aus denselben Gründen umgekehrt aus $\textstyle \left({\frac {\nu _{2},\,\mu _{2}}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$, wenn $\mu _{2}$ nicht das Quadrat einer Zahl in $k$ ist, allemal auch $\textstyle \left({\frac {\nu _{1},\,\mu _{1}}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$ gefolgert werden kann, so ist damit die Richtigkeit des Satzes 47 für den Fall gezeigt, daß keine der beiden Zahlen $\mu _{1}$, $\mu _{2}$ das Quadrat einer Zahl in $k$ ist.

Nehmen wir an, es sei eine jener beiden Zahlen, etwa die Zahl $\mu _{2}$, dagegen nicht $\mu _{1}$ das Quadrat einer ganzen Zahl in $k$, so ist nach Definition 6 $\textstyle \left({\frac {\nu _{2},\,\mu _{2}}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$, und die Voraussetzung des zu beweisenden Satzes 47 fordert dann, daß $\mu _{1}$ kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}^{2l+1}$ sein muß; wir wollen im folgenden den Nachweis dafür führen, daß in diesem Falle auch stets $\textstyle \left({\frac {\nu _{1},\,\mu _{1}}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$ ausfällt.

Zu dem Zwecke bezeichnen wir wie in Satz 40 mit ${\mathfrak {l}}_{1}$, ${\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ die sämtlichen voneinander verschiedenen in $2$ aufgehenden Primideale, und es möge ferner allgemein ${\mathfrak {l}}_{i}$ genau zur ${\mathfrak {l}}_{i}$-ten Potenz in $2$ aufgehen, so daß

$2={\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}}{\mathfrak {l}}_{2}^{l_{2}}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{l_{z}}$

wird; wir nehmen ${\mathfrak {l}}={\mathfrak {l}}_{1}$ und setzen $l=l_{1}$. Sodann bestimmen wir eine ganze Zahl $\mu _{1}^{*}$ in $k$, welche den Kongruenzen

$\left.{\begin{aligned}\mu _{1}^{*}&\equiv \mu _{1},\quad ({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}),\\\mu _{1}^{*}&\equiv 1,\quad \,\,\,({\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}})\\\end{aligned}}\right\}$

(5)

genügt und, nachdem dies geschehen, ein Primideal ${\mathfrak {p}}$ in $k$, für welches die Gleichungen

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mu _{1}^{*}}}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mu _{1}^{*}}}\right),\\\left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)&=\left({\frac {\lambda _{1}}{\mu _{1}^{*}}}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\lambda _{z}}{\mu _{1}^{*}}}\right)\end{aligned}}\right\}$

(6)

gelten; hierbei sollen $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$, $\lambda _{1}$, …, $\lambda _{z}$ die Bedeutung wie in Satz 42 haben. Da wegen (6)

${\begin{aligned}\left({\frac {\varepsilon _{1}}{{\mathfrak {p}}\mu _{1}^{*}}}\right)&=+1,\,\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{{\mathfrak {p}}\mu _{1}^{*}}}\right)=+1,\\\left({\frac {\lambda _{1}}{{\mathfrak {p}}\mu _{1}^{*}}}\right)&=+1,\,\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{{\mathfrak {p}}\mu _{1}^{*}}}\right)=+1\end{aligned}}$

wird, so können wir nach Satz 43 eine ganze Zahl $\alpha$ derart bestimmen, daß das

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 456. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/473&oldid=- (Version vom 9.9.2019)