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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

Ideal ($\alpha$) gleich ${\mathfrak {p}}^{h}\mu _{1}^{*h}$ ist und überdies die Zahl $\alpha$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent ausfällt. Wir setzen $\pi =\textstyle {\frac {\alpha }{\mu _{1}^{*h}}}$ und haben dann $(\pi )={\mathfrak {p}}^{h}$.

Nunmehr bestimmen wir in $k$ ein Primideal ${\mathfrak {q}}$, für welches die Gleichungen

${\begin{aligned}\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {q}}}\right)&=\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\nu _{1}}}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mathfrak {q}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\nu _{1}}}\right),\\\left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {q}}}\right)&=\left({\frac {\lambda _{1}}{\nu _{1}}}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{\mathfrak {q}}}\right)=\left({\frac {\lambda _{z}}{\nu _{1}}}\right),\\\left({\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right)&=+1\end{aligned}}$

(7)

gelten. Indem wir wie vorhin verfahren, können wir nach Satz 43 eine ganze Zahl $\beta$ derart bestimmen, daß das Ideal $(\beta )={\mathfrak {q}}^{h}\nu _{1}^{h}$ wird und überdies die Zahl $\beta$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent ausfällt; wir setzen $\varkappa =\textstyle {\frac {\beta }{\nu _{1}^{h}}}$ und haben dann $(\varkappa )={\mathfrak {q}}^{h}$.

Indem wir die Beschaffenheit der Zahlen $\alpha$, $\beta$ berücksichtigen und den Satz 47 für den oben bereits behandelten Fall anwenden, erhalten wir

$\left({\frac {\nu _{1},\,\mu _{1}}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\varkappa ,\,\pi }{\mathfrak {l}}}\right)$.

(8)

Wir betrachten jetzt den Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ und werden beweisen, daß $\varkappa$ gleich der Relativnorm einer solchen Zahl dieses Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ ist, deren Nenner prim zu $2$ ausfällt. Wegen der Kongruenzen (5) ist $\mu _{1}^{*}$ und folglich auch $\pi$ gewiß dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul $2^{2}$ kongruent; infolgedessen enthält die Relativdiskriminante des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ nach Satz 4 und 5 nur den einen Primfaktor ${\mathfrak {p}}$. Wenn wir die am Schlusse von § 15 gemachte Bemerkung auf diesen Körper $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ anwenden und demgemäß $t=1$ nehmen, so wird aus der dort aufgestellten Ungleichung die folgende

$v^{*}>{\frac {m}{2}}-1$,

und da $v^{*}$ offenbar nicht größer als $\textstyle {\frac {m}{2}}$ sein kann, so ist hier notwendig $v^{*}=\textstyle {\frac {m}{2}}$, d. h. jede Einheit in $k$ ist die Relativnorm einer Einheit in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$. Die im Satze 23 mit $v$ bezeichnete Anzahl hat ihrer Bedeutung nach mindestens den Wert $v^{*}$ und ist daher ebenfalls gleich $\textstyle {\frac {m}{2}}$; der Satz 23 lehrt dann, daß die Anzahl aller ambigen Komplexe im Körper $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ gleich $1$ ist, d. h. im Körper $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ ist der einzige ambige Komplex der Hauptkomplex.

Aus der soeben festgestellten Tatsache erkennen wir leicht, daß die Klassenanzahl $H$ des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ notwendig ungerade ausfallen muß. Im entgegengesetzten Falle gäbe es nämlich in $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ ein Ideal ${\mathfrak {J}}$, so daß

${\mathfrak {J}}\not \sim 1,\quad {\mathfrak {J}}^{2}\sim 1$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 457. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/474&oldid=- (Version vom 9.9.2019)