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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

genügt. Mit Rücksicht auf Satz 43 gibt es dann in $k$ eine ganze Zahl $\pi ^{*}$ derart, daß das Hauptideal $(\pi ^{*})$ gleich ${\mathfrak {p}}^{h}$ wird und das Produkt $\pi ^{*}\mu ^{*}$ kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ ausfällt. Ferner läßt sich, wie leicht mit Rücksicht auf Satz 4, 6 und 8 ersichtlich ist, im Körper $K({\sqrt {\lambda _{1}\mu ^{*}}})$ gewiß eine Zahl ${\mathsf {A}}$ finden, so daß $\textstyle {\frac {\nu }{N({\mathsf {A}})}}$ gleich einem Bruche $\textstyle {\frac {\varrho }{\sigma }}$ wird, dessen Zähler $\varrho$ und dessen Nenner $\sigma$ zu 2 prim ausfallen. Endlich werde ein Primideal ${\mathfrak {q}}$ in $k$ bestimmt, welches den Bedingungen

${\begin{aligned}\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {q}}}\right)&=\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\varrho \,\sigma }}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mathfrak {q}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\varrho \,\sigma }}\right),\\\left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {q}}}\right)&=\left({\frac {\lambda _{1}}{\varrho \,\sigma }}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{\mathfrak {q}}}\right)=\left({\frac {\lambda _{z}}{\varrho \,\sigma }}\right),\\\left({\frac {\lambda _{1}\pi ^{*}}{\mathfrak {q}}}\right)&=+1\end{aligned}}$

(7)

genügt. Mit Rücksicht auf Satz 43 gibt es dann in $k$ eine ganze Zahl $\varkappa$ derart, daß $(\varkappa )={\mathfrak {q}}^{h}$ und zugleich $\varkappa \varrho \sigma$ kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ ausfällt.

Wir haben nun auf Grund von Definition 18

$\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\lambda _{1}^{\alpha }\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right),$

ferner ist

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\lambda _{1}^{\alpha }\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varrho \,\sigma ,\,\lambda _{1}^{\alpha }\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)$.

Endlich folgt bei Anwendung der Sätze 36 und 40

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varrho \,\sigma ,\,\lambda _{1}^{\alpha }\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varkappa ,\,\lambda _{1}\pi ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right),$

und wegen der Voraussetzung des Satzes 57 haben wir mithin

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varkappa ,\,\lambda _{1}\pi ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=+1$,

d. h. es ist

$\left({\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {\lambda _{1}\pi ^{*}}{\mathfrak {q}}}\right)=+1$

und wegen (7) wird also auch

$\left({\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$.

(8)

Wir betrachten nunmehr den Körper $K\left({\sqrt {\lambda _{1}\pi ^{*}}}\right)$ und bedienen uns dann zum Beweise des Satzes 57 der nämlichen Schlußweise, welche wir beim Beweise des Satzes 48 angewandt haben. Aus (7) folgt, daß das Primideal ${\mathfrak {q}}$ des Körpers $k$ in $K\left({\sqrt {\lambda _{1}\pi ^{*}}}\right)$ stets weiter zerlegbar ist. Wir unterscheiden ferner im

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 471. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/488&oldid=- (Version vom 9.9.2019)