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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

d. h. es gelten die Gleichungen

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)&=\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)=c_{i},&&(i=1,\,2,\,\ldots ,\,r-z^{*}),\\\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)&=\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)=+1,&&(i=r+1,\,\ldots ,\,t^{*}).\end{aligned}}\right\}$

(5)

Da ${\mathfrak {d}}_{1}$, …, ${\mathfrak {d}}_{r-z^{*}}$, ${\mathfrak {d}}_{r+1}$, …, ${\mathfrak {d}}_{t^{*}}$ die sämtlichen zu $2$ primen Teiler der Relativdiskriminante von $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ sind, so können wir

$\mu ^{h}=\gamma \alpha ^{2}\delta _{1}\cdots \delta _{r-z^{*}}\delta _{r+1}\cdots \delta _{t^{*}}$

setzen, wo $\gamma$ eine ganze Zahl in $k$ ist, deren Primfaktoren sämtlich in $2$ aufgehen, und wo $\alpha$ irgendeine bestimmte ganze Zahl in $k$ bedeutet. Nach Satz 60 ist

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left({\frac {\pi ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=\left({\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{r-z^{*}}}}\right)\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{r+1}}}\right)\cdots \left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{t^{*}}}}\right)\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{z}}}\right)=+1$

und folglich erhalten wir wegen (4), (5)

$\left({\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right)c_{1}\cdots c_{r}=+1$;

da nun $c_{1}\ldots c_{r}=+1$ angenommen worden ist, so ergibt sich auch $\left({\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$, d. h. ${\mathfrak {p}}$ zerfällt in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ in zwei Primfaktoren. Mit Rücksicht auf (4), (5) haben die Charaktere eines jeden dieser Primfaktoren die Werte

$\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right)c_{1}$, …, $\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{r}}}\right)c_{r}$.

Hieraus schließen wir genau wie bei dem in § 29 entwickelten Beweise die Richtigkeit des Satzes 41 im allgemeinen Falle.

Wir haben damit die wichtigste Frage nach der Anzahl der Geschlechter in einem beliebigen relativquadratischen Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ vollständig erledigt.

§ 42. Die Klassen des Hauptgeschlechtes.

Wir heben in diesem und in den folgenden Paragraphen einige Folgerungen hervor, die sich aus dem Satze 41 ergeben.

Satz 63. Die Anzahl $g$ der Geschlechter in einem relativquadratischen Körper ist gleich der Anzahl $A$ seiner ambigen Komplexe.

Beweis. Wenn $t$ und $v$ die Bedeutung wie in Satz 23 haben und wenn wir berücksichtigen, daß nach Satz 41 $g=2^{r-1}$ ist, so folgt aus den Sätzen 23 und 25

$r\leqq t+v-{\frac {m}{2}}$

und da andererseits nach Satz 24

$t+v-{\frac {m}{2}}\leqq r$

sein muß, so erhalten wir

$r=t+v-{\frac {m}{2}}$;

nach Satz 23 ist mithin die Anzahl der ambigen Komplexe

$A=2^{a}=2^{r-1}=g$.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 478. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/495&oldid=- (Version vom 9.9.2019)