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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

Satz 64. Jeder Komplex des Hauptgeschlechtes in einem relativquadratischen Körper $K$ ist das Quadrat eines Komplexes in $K$, d. h. jede Klasse des Hauptgeschlechtes in einem relativquadratischen Körper $K$ ist gleich dem Produkt aus dem Quadrat einer Klasse und aus einer solchen Klasse, welche Ideale des Grundkörpers $k$ enthält.

Beweis. In dem Beweise zu Satz 25 ist die Gleichung ${\mathsf {A}}f'=gf$ abgeleitet worden; hierbei haben ${\mathsf {A}}$ und $g$ die Bedeutung wie in Satz 63; ferner bedeutet $f'$ die Anzahl derjenigen Komplexe, welche gleich Quadraten von Komplexen sind und $f$ die Anzahl der Komplexe des Hauptgeschlechtes. Da nach Satz 63 ${\mathsf {A}}=g$ ist, so folgt $f'=f$ und damit ist bewiesen, daß jeder Komplex des Hauptgeschlechtes das Quadrat eines Komplexes ist.

§ 43. Der Satz von den Relativnormen eines relativquadratischen Körpers.

Satz 65. Wenn $\nu$, $\mu$ irgend zwei beliebige ganze Zahlen $\neq 0$ des Körpers $k$ bedeuten, von denen $\mu$ nicht das Quadrat einer Zahl in $k$ ist, und welche für jedes Primideal ${\mathfrak {w}}$ in $k$ die Bedingung

$\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$

erfüllen, so ist die Zahl $\nu$ stets gleich der Relativnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$.

Beweis. Wir beweisen diesen Satz zunächst für den Fall, daß $\nu$ eine Einheit in $k$ ist. Es mögen $t$ und $v$ die Bedeutung wie in Satz 23 haben; im Beweise zu Satz 63 ist gezeigt worden, daß $r=t+v-\textstyle {\frac {m}{2}}$ sein muß: d. h. es ist $v=\textstyle {\frac {m}{2}}-t+r$. Die Anzahl der Einheitenverbände in $k$, soweit sie aus Einheiten, die Relativnormen sind, entspringen, beträgt also $\textstyle 2^{{\frac {m}{2}}-t+r}$.

Andererseits betrachten wir die $r^{*}=t-r$ Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r^{*}}$, die in § 17 bestimmt worden sind. Aus den Gleichungen (1) in § 17 erkennen wir leicht, daß die $r^{*}$ aus $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{r^{*}}$ entspringenden Einheitenverbände voneinander unabhängig sind. Es müssen sich daher $\textstyle {\frac {m}{2}}-r^{*}$ solche Einheitenverbände finden lassen, die mit jenen zusammen ein System von $\textstyle {\frac {m}{2}}$ unabhängigen Einheitenverbänden bilden. Sind $\varepsilon _{r^{*}+1}$, …, $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$ Einheiten bez. aus diesen $\textstyle {\frac {m}{2}}-r^{*}$ Einheitenverbänden, so läßt sich offenbar jede beliebige Einheit $\xi$ des Körpers $k$ in der Gestalt

$\xi =\varepsilon _{1}^{u_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}}\varepsilon ^{2}$

darstellen, wo $u_{1}$, …, $u_{\frac {m}{2}}$ gewisse Exponenten $0$, $1$ und $\varepsilon$ eine geeignete Einheit in $k$ bedeutet. Betrachtet man nun die $r^{*}$ Gleichungen

$\left({\frac {\xi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=+1$, $\left({\frac {\xi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-1}}}\right)=+1$, …, $\left({\frac {\xi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-r^{*}+1}}}\right)=+1$,

(1)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 479. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/496&oldid=- (Version vom 9.9.2019)