Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/498

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sein; die Relativnorm dieser Zahl ist offenbar von der Gestalt , wo eine Einheit in und eine ganze Zahl in bedeutet. Aus der letzten Gleichung folgt, daß für jedes beliebige Primideal notwendig und daher auch sein muß. Es ist nun im ersten Teil des gegenwärtigen Beweises gezeigt worden, daß unter diesen Umständen stets gleich der Relativnorm einer Zahl in sein muß; wir setzen , wo eine Zahl in ist. Es folgt dann

,

und hiermit ist der Beweis für Satz 65 vollständig erbracht.

§ 44. Die ternäre quadratische Diophantische Gleichung im Körper .

Den Inhalt des Satzes 65 können wir auch auf folgende Weisen aussprechen:

Satz 66. Wenn , beliebige ganze Zahlen in bedeuten, so ist die Diophantische Gleichung

in ganzen oder gebrochenen Zahlen , des Körpers stets dann lösbar, wenn für jedes Primideal in die Bedingung

erfüllt ist.

Satz 67. Wenn , irgend zwei beliebige ganze Zahlen des Körpers bedeuten, so ist die Diophantische Gleichung

in ganzen oder gebrochenen Zahlen , des Körpers stets dann lösbar, wenn die Kongruenz

nach jedem Primideal des Körpers und nach jeder Potenz eines solchen in ganzen Zahlen , des Körpers lösbar ist.

Beweis. Falls das Quadrat einer ganzen Zahl in ist, wird jener Diophantischen Gleichung durch , genügt. Es sei nun nicht das Quadrat einer ganzen Zahl in . Es sei ferner ein Primideal in und eine beliebige Potenz von ; endlich seien , ganze Zahlen in , die der im Satze 67 aufgestellten Kongruenz nach genügen. Da offenbar , nicht beide zugleich durch teilbar sein können, so dürfen wir annehmen, daß etwa zu prim ausfiele: dann ist wegen

die Zahl Normenrest des Körpers nach und folglich erfüllen die