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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 10

Sind ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ beliebige zu $2$ prime Ideale in $k$ und $\alpha$ eine zu ${\mathfrak {ab}}$ prime ganze Zahl in $k$, so gilt offenbar die Gleichung

$\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {ab}}}\right)=\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {b}}}\right)$.

Bezeichnet $\mu$ irgendeine ganze Zahl in $k$, die nicht gleich dem Quadrat einer Zahl in $k$ ist, so bestimmt ${\sqrt {\mu }}$ zusammen mit den Zahlen des Körpers $k$ einen Körper vom Grade $2m$, welcher relativquadratisch in bezug auf den Körper $k$ ist und mit $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ oder auch kurz mit $K$ bezeichnet werde. Sind in bezug auf $k$ mehrere relativquadratische Körper vorgelegt, so heißen dieselben voneinander unabhängig, sobald keiner derselben als Unterkörper in demjenigen Körper enthalten ist, der aus den übrigen durch Zusammensetzung entsteht.

Ein relativquadratischer Körper $K$ heiße unverzweigt in bezug auf $k$, wenn die Relativdiskriminante von $K$ in bezug auf $k$ gleich $1$ ausfällt oder, was das nämliche bedeutet, wenn es in $k$ kein Primideal gibt, das gleich dem Quadrat eines Primideals in $K$ wird.

§ 3.

Wir machen zunächst über den zugrunde gelegten Körper $k$ solche zwei Annahmen, unter denen die Theorie des relativquadratischen Körpers bereits in meiner Abhandlung ausführlich entwickelt worden ist; es sind dies folgende Annahmen:

1. Der Körper $k$ vom $m$-ten Grade sei nebst allen konjugierten Körpern $k'$, $k''$, …, $k^{m-1}$ imaginär.

2. Die Anzahl $h$ der Idealklassen im Körper $k$ sei gleich $1$.

Wegen der späteren Ausführungen wiederholen wir hier die hauptsächlichsten in Frage kommenden Definitionen und Resultate in einer Fassung, die von der in meiner Abhandlung gegebenen Darstellung ein wenig abweicht.

Definition 1. Ein solches zu $2$ primes Ideal ${\mathfrak {a}}$ des Körpers $k$, in bezug auf das für jede Einheit $\xi$ in $k$

$\left({\frac {\xi }{\mathfrak {a}}}\right)=+1$

ausfällt, heiße ein primäres Ideal.

Definition 2. Eine solche zu $2$ prime ganze Zahl $\alpha$ des Körpers $k$, welche kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul $2^{2}$ ausfällt, heiße eine primäre Zahl des Körpers $k$.

Wir können dann den wesentlichen Inhalt des ersten Ergänzungssatzes zum Reziprozitätsgesetz wie folgt aussprechen:

Satz 1. Wenn ${\mathfrak {a}}$ ein primäres Ideal in $k$ ist, so gibt es stets eine primäre Zahl $\alpha$, so daß ${\mathfrak {a}}=(\alpha )$ wird, und umgekehrt: wenn $\alpha$ eine primäre Zahl in $k$ ist, so ist das Ideal ${\mathfrak {a}}=(\alpha )$ stets ein primäres Ideal.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 485. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/502&oldid=- (Version vom 31.7.2018)