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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie

Die Primideale ${\mathfrak {w}}^{(+)},{\mathfrak {w}}^{(-)}$ erschöpfen offenbar die sämtlichen Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k$, und es ist daher

$\sum _{({\mathfrak {w}}^{(+)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {w}}^{(+)})^{s}}}+\sum _{({\mathfrak {w}}^{(-)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {w}}^{(-)})^{s}}}=\sum _{({\mathfrak {w}})}{\frac {1}{n({\mathfrak {w}})^{s}}}=\log {\frac {1}{s-1}}+f(s),$

(21)

wo die Summe $\sum _{({\mathfrak {w}})}$ über sämtliche Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k$ erstreckt werden soll und $f(s)$ wiederum eine für Werte $s>1$, die sich dem Werte $1$ nähern, zwischen endlichen Grenzen bleibende Größe bezeichnet. Aus (20) und (21) zusammen folgt die Ungleichung

$\sum _{({\mathfrak {w}}^{(+)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {w}}^{(+)})^{s}}}-\sum _{({\mathfrak {w}}^{(-)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {w}}^{(-)})^{s}}}\geqq {\frac {1}{2}}\log {\frac {1}{s-1}}+2f_{\omega }(s)+2f_{\omega \omega '}(s)-f(s).$

(22)

Nunmehr stellen wir folgenden Hilfssatz über die Ideale des Körpers $k$ auf:

Hilfssatz 5 Wenn in dem Ausdrucke

$\sum _{({\mathfrak {w}}^{(+)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {w}}^{(+)})^{s}}}-\sum _{({\mathfrak {w}}^{(-)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {w}}^{(-)})^{s}}}$

$(s>1)$

die erste Summe über alle Primideale ${\mathfrak {w}}^{(+)}$ und die zweite Summe über alle Primideale ${\mathfrak {w}}^{(-)}$ erstreckt wird, so stellt dieselbe eine solche Funktion der reellen Veränderlichen $s$ dar, welche stets unterhalb einer positiven endlichen Grenze bleibt, wenn die reelle Veränderliche $s$ sich der Grenze $1$ nähert.

Der Beweis dieses Satzes wird durch die nämliche Schlußweise geführt, wie sie beim Beweise des Satzes 31 in meiner Abhandlung angewandt worden ist.

Wir erkennen, daß die Ungleichung (22) unmittelbar einen Widerspruch gegen den Hilfssatz 5 enthält, und mithin ist unsere ursprüngliche Annahme zu verwerfen, d. h. es müssen in der Gleichung (4) die Exponenten $v_{1},\dots ,v_{{\frac {m}{2}}+1}$ oder das zweitemal in der entsprechenden Gleichung (18) die Exponenten $v'_{1},\dots ,v'_{{\frac {m}{2}}+1}$ sämtlich $0$ sein; in der Zahl $\omega$ bez. $\omega '$ haben wir also eine Zahl des Körpers $k$, welche als Ideal das Quadrat eines Ideals in $k$ darstellt, die überdies kongruent dem Quadrat einer Zahl in $k$ nach dem Modul $2^{2}$ wird und doch nicht das Quadrat einer Zahl in $k$ ist.

Der Körper $K\left({\sqrt {\omega }}\right)$ bez. $K\left({\sqrt {\omega '}}\right)$ ist der gesuchte Klassenkörper $Kk$ zum Grundkörper $k$, da er die in Satz 9a ausgesprochene Eigenschaft besitzt. Damit ist die schwierigste Aufgabe in der hier erörterten Theorie gelöst.

§ 12.

Der Beweis für den Satz 9b sowie für die zweite Aussage des Satzes 9c ist aus den bisherigen Entwicklungen leicht zu entnehmen. Nicht so einfach gelingt der Nachweis für die erste Aussage des Satzes 9c, wonach jedes Primideal

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 500. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/517&oldid=- (Version vom 31.7.2018)