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Nach der Integralformel des Satzes I ist mithin auch

. (7)

Der zweite wesentliche Schritt beruht darauf, daß wir hier in der Summe rechts die Anzahl , die ja mit verschwindendem notwendig über alle Grenzen wächst, auf eine feste, von unabhängige Zahl reduzieren. Dies gelingt in folgender Weise. Wir bedenken, daß es nur linear unabhängige Formen -ten Grades von 5 Variabeln gibt und daß daher gewiß zwischen den ersten Formen -ten Grades

, (, …, )

eine lineare Identität von der Gestalt

bestehen muß, wo die , …, reelle Konstante bedeuten, von denen einige positiv und einige negativ ausfallen müssen. Indem wir diese Identität durch den größten unter den positiven Koeffizienten dividieren, entsteht eine Identität von der Gestalt

,

wo gewiß einer unter den Koeffizienten , …, den Wert besitzt und zugleich alle übrigen Koeffizienten ausfallen. Subtrahieren wir diese Identität von der Summe (6), so hebt sich offenbar eine der -ten Potenzen fort, und wir erhalten eine Summe über nur Summanden, von denen keiner negativ wird, da ja die zu den hinzutretenden konstanten Faktoren sämtlich positiv ausfallen, wenn sie nicht insbesondere verschwinden. Indem wir diese konstanten Faktoren in die -te Potenz hineinziehen, gelangen wir zu einer Formel von der Gestalt

,

worin die wieder Linearformen der Variabeln , …, bedeuten und die Anzahl der Summanden rechts gegenüber der ursprünglichen Summe links gewiß um vermindert ist.

Das dadurch eingeleitete Reduktionsverfahren können wir fortsetzen, bis schließlich die Zahl der Summanden auf herabkommt; alsdann erhalten wir eine Formel von der Gestalt:

, (8)

wo wiederum die

(, …, )

Linearformen der Variabeln , …, bedeuten, deren Koeffizienten wesentlich noch von abhängen.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 513. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/530&oldid=- (Version vom 26.1.2019)