Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/541

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie

Dabei ist jede dieser Gleichungen so zu verstehen, daß ihre linke Seite, sobald dort $Y_{s}$ eine ganze, der Bedingung

$|Y_{s}|<\varkappa _{s}{\sqrt {K_{s}}}x^{2^{g-s}}$

genügende Zahl ist, sich in Gestalt der rechts stehenden Summe darstellen läßt, so daß die $Y_{h}^{\prime (s+1)}$ passend gewählte, den Ungleichungen

$|Y_{h}^{\prime (s+1)}|<\varkappa '_{s}{\sqrt {K'_{s}}}x^{2^{g-s-1}}$

(31)

genügende ganze Zahlen bedeuten. Die Größen $r_{h}^{(s)}$, $\varkappa _{s}$, $\varkappa '_{s}$, $K_{s}$, $K'_{s}$ haben hierbei die in Hilfssatz 3 und 4 angegebene Bedeutung; es ist demnach (der untere Index 0 ist stets zu unterdrücken)

$\left.{\begin{aligned}\varkappa '_{s}&=\varphi _{s}(\varkappa _{s}),\\K'_{s}&=F_{s}(K_{s},\,\varkappa _{s}),\end{aligned}}\quad (s=0,\,1,\,\ldots ,\,g-1)\right\}$

(32)

wo $\varphi$, $F$ die in den Hilfssätzen 3 und 4 auftretenden Funktionen sind. Überdies ist zu beachten, daß allgemein $\varkappa _{s}$ den Ungleichungen

$1\leqq \varkappa _{s}<{\frac {1}{2}}{\sqrt {K_{s}}}-1$

(33)

genügen muß, wodurch auch zugleich $K_{s}>16$ wird.

Um nun zum Beweise des Hilfssatzes 5 zu gelangen, muß es möglich sein, die auf den rechten Seiten einer jeden der Formeln (30) stehenden Summanden als linke Seiten der nächstfolgenden Formel zu nehmen, damit sich schließlich die linke Seite der ersten Formel als Summe von Größen ergibt, die die Gestalt der rechten Seite der letzten Formel haben. Um diese Möglichkeit darzutun, setzen wir allgemein

$K_{s}=K'_{s-1}\qquad (s=1,\,\ldots ,\,g-1)$

(34)

und brauchen dann nur noch zu bewirken, daß die Bedingungen

$\varkappa '<\varkappa _{1}$, $\varkappa '_{1}<\varkappa _{2},\dotsc ,\varkappa '_{g-2}<\varkappa _{g-1}$

(35)

erfüllt sind.

Wählen wir nun bei der erstmaligen Anwendung des Hilfssatzes 3 bzw. 4 $\varkappa =1$, so ist dadurch wegen (32)

$\varkappa '=\varphi (1)$

bestimmt, während uns die Wahl von $K$ noch freisteht. Da die in den Hilfssätzen auftretende Funktion $F(K,\,\varkappa )$ bei festem $\varkappa$ mit $K$ zugleich, ohne je abzunehmen, über alle Grenzen wächst und wegen (32), (34)

$K_{1}=F(K,\,\varkappa )=F(K,\,1)$

ist, so können wir $Kso$ groß wählen, daß

${\frac {1}{2}}{\sqrt {K_{1}}}-1>\varkappa '+1$

wird, und dann bleibt diese Ungleichung auch erfüllt, wenn wir $K$ noch vergrößern.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 524. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/541&oldid=- (Version vom 17.1.2018)