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Existenzsatz. Zu jeder Idealgruppe in existiert ein Klassenkörper über .

Isomorphiesatz. ist relativ-Abelsch über , und die Galoissche Relativgruppe von ist isomorph zur Gruppe der Idealklassen nach der Idealgruppe als Hauptklasse.

Die Idealklasseneinteilung hat dabei naturgemäß nur innerhalb der Gruppe aller zu primen Ideale zu erfolgen.

Zerlegungssatz für die Nichtteiler des Führers. Ist, für ein nicht im Führer von aufgehendes Primideal , die früheste Potenz, die in enthalten ist, so zerfällt in in verschiedene Primidealfaktoren vom Relativgrade .

Diskriminantensatz. Die Relativdiskriminante von über enthält genau diejenigen Primideale, die im Führer von aufgehen.

Beide Sätze sind als Spezialfälle in dem folgenden Satz enthalten:

Allgemeiner Zerlegungssatz. Hat, für ein beliebiges Primideal , innerhalb der engsten enthaltenden Idealgruppe von nicht durch teilbarem Führer den Index , und ist als früheste Potenz in enthalten, so zerfällt in in -te Potenzen verschiedener Primideale vom Relativgrade .

Anordnungs und Eindeutigkeitssatz. Ist Klassenkörper zu , Klassenkörper zu , so bedingen sich die Relationen und gegenseitig.

Insbesondere bestimmen sich also eine Idealgruppe und ihr Klassenkörper gegenseitig eindeutig.

Die Relation ist dabei derart zu verstehen, daß bei Beschränkung auf die zum Führer von (aber nicht notwendig sogar zum Führer von ) primen Ideale Teilmenge von wird.

Umkehrsatz. Jeder relativ-Abelsche Körper über ist Klassenkörper zu einer Idealgruppe aus .

Der Sinn dieser Sätze ist dieser: Durch die Klassenkörperbeziehung wird eine umkehrbar eindeutige Abbildung des Systems aller relativ-Abelschen Körper über auf das System aller Idealgruppen aus geliefert, bei der jedem körpertheoretischen Sachverhalt ein bestimmtes Äquivalent für die Idealgruppen entspricht. Man beherrscht so durch das System der Idealgruppen in völlig das System der relativ-Abelschen Körper über .

Insbesondere geht der Umkehrsatz für den Spezialfall des rationalen Zahlkörpers als Grundkörper in den oben erwähnten, von Hilbert in 6 behandelten Kroneckerschen Fundamentalsatz über, so wie überhaupt die von Hilbert im vierten Teil des Zahlberichts behandelte Theorie des allgemeinen -ten Kreiskörpers, von den allgemeinen Sätzen der Klassenkörpertheorie aus gesehen, einfach als Theorie des Klassenkörpers zur Restklasseneinteilung mod. in erscheint.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 532. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/549&oldid=- (Version vom 26.9.2016)