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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

Grundeinheit $=\pm 1$ ausfällt, noch eines dieser $s-1$ ambigen Ideale durch die $s-2$ übrigen und durch ${\mathsf {A}}$ aus. Bezeichnen wir dann allgemein eine Anzahl von Idealklassen als untereinander unabhängig, wenn keine derselben gleich $1$ oder gleich einem Produkt der übrigen ist, so gilt offenbar der Satz:

Satz 2. Die $s$ ambigen Primideale bestimmen $s-2$ oder $s-1$ voneinander unabhängige ambige Klassen, je nachdem die Partialnorm der Grundeinheit $=\pm 1$ oder $=\pm i$ ist. Die sämtlichen $2^{s}$ ambigen Ideale bestimmen im ersteren Falle $2^{s-2}$, im letzteren $2^{s-1}$ voneinander verschiedene ambige Idealklassen.

Was die beiden oben ausgeschlossenen Fälle $\delta =3$ und $\delta =i$ betrifft, so gilt im ersteren Falle ebenfalls der eben ausgesprochene allgemeine Satz, da das einzige ambige Ideal ${\mathfrak {L}}={\sqrt {3}}$ ein Hauptideal ist und die Partialnorm der Grundeinheit gleich $\pm i$ ausfällt. Im zweiten Falle $\delta =i$ dagegen verliert das im Satze angegebene Kriterium seine Anwendbarkeit, da die Partialnorm der Einheitswurzel ${\sqrt {i}}$ gleich $-i$ wird. Man erkennt, daß auch im Falle $\delta =i$ das einzige vorhandene aus der Zerlegung von $1+i$ entspringende ambige Ideal ein Hauptideal ist.

Es werde hier noch der allgemeinere Fall hervorgehoben, in welchem $\delta$ gleich einer Primzahl und überdies $\equiv \pm 1$ nach $(1+i)^{4}$ ist. In diesem Falle wird ebenfalls $s=1$ und die obige Entwicklung zeigt, daß notwendigerweise die Partialnorm der Grundeinheit $=\pm i$ sein muß.

Es bleibt noch übrig, die Frage zu beantworten, ob im Körper $K$ ambige Klassen vorhanden sind, welche kein ambiges Ideal enthalten. Zu dem Zwecke wählen wir in der ambigen Klasse $C$ ein beliebiges Ideal ${\mathfrak {J}}$ aus; es ist dann $\textstyle {\frac {\mathfrak {J}}{S{\mathfrak {J}}}}$ gleich einer Zahl ${\mathsf {A}}$ des Körpers $K$. Da es freisteht $i{\mathsf {A}}$ an Stelle von ${\mathsf {A}}$ zu wählen, so können wir die Annahmen $\nu ({\mathsf {A}})=+1$ oder $=+i$ zugrunde legen.

Im ersteren Falle betrachten wir die Zahl ${\mathsf {B}}=1+S{\mathsf {A}}$. Wegen $\textstyle {\frac {\mathsf {B}}{S{\mathsf {B}}}}={\frac {1}{\mathsf {A}}}$ wird $\textstyle {\frac {{\mathsf {B}}{\mathfrak {J}}}{S({\mathsf {B}}{\mathfrak {J}})}}=1$ d. h. $\textstyle {\mathsf {B}}{\mathfrak {J}}=S({\mathsf {B}}{\mathfrak {J}})$. Setzen wir daher $\textstyle {\mathsf {B}}{\mathfrak {J}}={\tfrac {\alpha }{\beta }}{\mathfrak {A}}$, wo $\alpha$ und $\beta$ ganze imaginäre Zahlen sind und das Ideal ${\mathfrak {A}}$ durch keine ganze imaginäre Zahl teilbar ist, so folgt, daß ${\mathfrak {A}}$ ein ambiges Ideal ist: die Klasse $C$ enthält mithin ein ambiges Ideal.

Ziehen wir zweitens die Annahme $\nu ({\mathsf {A}})=i$ in Betracht, so erkennen wir zunächst, daß in diesem Falle das Charakterensystem von $i$ aus lauter positiven Einheiten bestehen muß. Für die vorliegende Frage kommt es nun darauf an, ob die Partialnorm der Grundeinheit $\nu ({\mathsf {E}})=+1$ oder $=+i$ ausfällt. Ist letzteres der Fall, so setzen wir einfach $\textstyle {\frac {\mathsf {A}}{\mathsf {E}}}$ an Stelle von ${\mathsf {A}}$ und zeigen dann durch die eben angewandte Schlußweise, daß in der Idealklasse $C$ ein ambiges Ideal vorkommt. Ist dagegen $\nu ({\mathsf {E}})=+1$, so enthält die Klasse $C$ kein ambiges Ideal. Wäre nämlich ${\mathfrak {A}}={\mathsf {B}}{\mathfrak {J}}$ ein solches, wo ${\mathsf {B}}$ eine Zahl in $K$ bedeutet, so

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 40. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/57&oldid=- (Version vom 10.8.2018)