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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 5

Da das Produkt $S'{\mathfrak {J}}\cdot S''{\mathfrak {J}}$ bei Anwendung der Substitution $S$ ungeändert bleibt, so ist dasselbe gleich einer Zahl in $k$ und folglich ein Hauptideal. Da ${\mathfrak {J}}\cdot S'{\mathfrak {J}}$ und ${\mathfrak {J}}\cdot S''{\mathfrak {J}}$ bezüglich in den Körpern $k'$ und $k''$ liegen, so erkennen wir, daß ${\mathfrak {J}}^{2}$ und mithin auch ${\mathfrak {H}}$ äquivalent dem Produkt eines in $k'$ und eines in $k''$ liegenden Ideals ist.

Es seien nun $p_{1}$, …, $p_{\pi }$ die in $\partial$ aufgehenden der Kongruenz $p\equiv 1$ nach $4$ genügenden und $q_{1}$, …, $q_{\varkappa }$ die in $\partial$ aufgehenden der Kongruenz $q\equiv 3$ nach $4$ genügenden Primzahlen. Die ersteren Primzahlen lassen sich als Produkt zweier ganzer imaginärer Zahlen darstellen, und zwar sei $p_{1}=\alpha _{1}\beta _{1}$, …, $p_{\pi }=\alpha _{\pi }\beta _{\pi }$.

Wir bezeichnen jetzt im biquadratischen Körper $K$ diejenigen Geschlechter als die Geschlechter der Hauptart, für welche die Charaktere der Norm $\nu$ den Bedingungen:

$\left[{\frac {\nu }{\alpha _{1}:\partial }}\right]\left[{\frac {\nu }{\beta _{1}:\partial }}\right]=+1$, …, $\left[{\frac {\nu }{\alpha _{\pi }:\partial }}\right]\left[{\frac {\nu }{\beta _{\pi }:\partial }}\right]=+1$

und

$\left[{\frac {\nu }{q_{1}:\partial }}\right]=+1$, …, $\left[{\frac {\nu }{q_{\varkappa }:\partial }}\right]=+1$

genügen. Unmittelbar aus dieser Definition folgt die Tatsache, daß genau der $2^{\pi +\varkappa -1}$-te Teil bezüglich der $2^{\pi +\varkappa }$-te Teil sämtlicher Geschlechter des Körpers $K$ von der Hauptart ist, je nachdem $\partial$ ungerade oder gerade ist. Es gilt ferner der Satz:

Jedes Produkt ${\overline {c'c''}}$ gehört im biquadratischen Körper $K$ einem Geschlechte der Hauptart an, und umgekehrt jede Klasse $C$ des biquadratischen Körpers $K$, welche einem Geschlechte der Hauptart angehört, ist gleich einem Produkt ${\overline {c'c''}}$.

Um den ersten Teil dieses Satzes zu beweisen, berücksichtigen wir, daß die Partialnorm eines jeden in $k'$ oder $k''$ liegenden Ideals eine ganze rationale Zahl wird und benutzen dann die beiden folgenden Tatsachen:

l. Ist $p=\alpha \beta$ eine rationale in $k$ zerlegbare Primzahl, so ist jede rationale Zahl im Gebiet der ganzen imaginären Zahlen gleichzeitig quadratischer Rest oder Nichtrest in bezug auf die konjugiert imaginären Faktoren $\alpha$ und $\beta$.

2. Ist $q$ eine rationale in $k$ unzerlegbare Primzahl, so ist jede rationale Zahl im Gebiet der ganzen imaginären Zahlen quadratischer Rest in bezug auf $q$.

Um die Richtigkeit der Umkehrung zu erkennen, bemerken wir, daß jedenfalls entweder die Diskriminante des quadratischen Körpers $k'$ oder die des quadratischen Körpers $k''$ den Faktor $2$ enthalten muß. Aus der bekannten Theorie der quadratischen Körper folgt daher, daß notwendig in einem jener beiden quadratischen Körper ein Geschlecht existieren muß, dessen Charaktere in bezug auf die Primzahlen $p_{1}$, …, $p_{\pi }$ der Reihe nach mit den Werten der Symbole $\textstyle \left[{\frac {\nu }{\alpha _{1}:\partial }}\right]$, …, $\textstyle \left[{\frac {\nu }{\alpha _{\pi }:\partial }}\right]$ übereinstimmen. Ist $a$ eine Klasse dieses Geschlechtes im quadratischen Körper $k'$ oder $k''$, so gehört, wie man leicht

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 49. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/66&oldid=- (Version vom 31.7.2018)