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	Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln

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also:

${\begin{aligned}\Omega _{+}=-\chi _{rs}-{\frac {k}{2\pi \alpha }}{\frac {n}{r^{2}}}{\frac {\partial \chi _{rs}}{\partial \eta }}+&\left({\frac {k}{2\pi \alpha }}\right)^{2}{\frac {n^{2}}{r^{2}}}\chi _{rs}\\&+\left({\frac {k}{2\pi \alpha }}\right)^{3}{\frac {n^{3}}{r^{4}}}{\frac {\partial \chi _{rs}}{\partial \eta }}-\cdots \end{aligned}}\,$

Die Glieder dieser Reihe lassen nun allerdings, wie der Versuch zeigt, eine Darstellung, welche unmittelbar die Summation über alle $\chi _{rs}\,$ erlaubt, nicht zu; setzen wir aber voraus, das $\chi \,$ symmetrisch zur $\eta \,$ Achse sei, so dass in seiner Entwickelung nur Glieder mit $\cos r\eta \,$ vorkommen, so haben wir

${\begin{aligned}&-n\chi _{rs}={\frac {\partial \chi _{rs}}{\partial \zeta }}\\&-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial \chi }{\partial \eta }}=\int \limits _{0}^{\eta }\chi _{rs}\,d\eta ,\end{aligned}}\,$

und können dann wenigstens für die Glieder erster Ordnung in ${\frac {k}{2\pi \alpha }}\,$ die Summation ausführen. Indem wir uns auf diese ^[1] beschränken, erhalten wir:

${\mathit {\Omega _{+}}}=-\chi -{\frac {k}{2\pi \alpha }}\int \limits _{0}^{\eta }{\frac {\partial \chi }{\partial \zeta }}\,d\eta ,\,$

und für das sehr klein werdende Gesammtpotential auf der positiven Seite:

${\mathit {\Omega }}+\chi =-{\frac {k}{2\pi \alpha }}\int \limits _{0}^{\eta }{\frac {\partial \chi }{\partial \zeta }}\,d\eta .\,$

Ausser der schon angeführten Bedingung müssen wir dieser Formel jedoch eine weitere Beschränkung auferlegen.

Ist nämlich ${\frac {2\pi \alpha }{k}}\,$ auch noch so gross, so wird doch für gewisse Elememente, für welche $r\,$ verschwindet $h<1,\,$ also die benutzte Entwickelung ungültig werden. Dieser Umstand hat zur Folge, dass der aufgestellte Ausdruck nur in einem begrenzten Gebiet gilt, welches übrigens um so weiter ist, je

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1. Annähernde Lösung für grosse Werthe der Geschwindigkeit. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.

Empfohlene Zitierweise:
Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln, Berlin 1880, Seite 26. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:De_Induction_in_rotirenden_Kugeln_(Hertz)_027.png&oldid=- (Version vom 31.7.2018)